Question

El radio de una esfera es r a los t segundo. Halle el radio cuando los ritmos de crecimiento del área y del radio son numéricamente iguales.

(Este ejercicio está en libro Calculo Diferencial por Eduardo Becerril Espinosa Pag. 81, dice que la solución es r = 1/8 π pul. Necesito el procedimiento. ¡Gracias!)

Answer 1

Si el radio crece linealmente con el tiempo, los ritmos de crecimiento del área y del radio son iguales para $r=\frac{1}{8\pi}$

Desarrollo paso a paso:

Si el radio de la esfera crece linealmente con el tiempo, este es:

$r=\alpha t, \alpha\epsilon R$

Y el área de la esfera por otro lado es:

$A=4\pi r^2 = 4\pi (\alpha t)^2$

Los ritmos de crecimiento del radio y del área de la esfera vienen dados por las derivadas de las funciones que acabamos de hallar.

$\frac{dr}{dt}=\alpha\\\\\frac{dA}{dt}=4\pi.2\alpha^2r$

Ahora nos indican que tenemos que hallar el radio para el cual los ritmos de crecimiento del área y del radio son iguales. Igualamos las dos derivadas:

$\alpha=8\pi\alpha^2 r\\\\r=\frac{1}{8\pi \alpha}$

Si tomamos para el coeficiente α=1, nos queda:

$\alpha=8\pi\alpha^2 r\\\\r=\frac{1}{8\pi}$