hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas y=3x, y, y=4x^2.representar en geogebra la región a rotar y anexar un pantallazo.
Respuestas
El volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por las curvas y=3x, y, y=4x² es V = 0,1797π unidades cubicas
Planteamiento de las ecuaciones
El área que se rotará para general el volumen se encuentra en la gasifica que se anexa
Para la resolución de este problema tomaremos dy como elementos diferenciales. Por lo tanto:
y = 3x => x = y/3
y = 4x² => x = √y/2
Puntos de corte de ambas curvas
y/3 = √y/2 => y²/9 = y/4 => 4y² = 9y => y(4y -9 ) = 0 Por lo tanto, los puntos de corte son
y = 0 , x = 0
y = 9/4 , x = 3/4
En estos términos, la ecuación del volumen de revolución es
V = π∫(F(y) - G(y))²dy con límites de integración y = 0 Y = 9/4
F(y) = √y/2
G(y) = y/3
Por lo tanto
V = π∫(√y/2 - y/3)²dy con límites de integración y = 0 Y = 9/4
V = π(y⁴/72 - (4/105)y^(7/2) + y³/24) con límites de integración y = 0 Y = 9/4
V = (12879/71680)π => V = 0,1797π unidades cubicas
