Question

Sólo tomado en cuenta la energía de rotación considere: cierto meteorito golpea la tierra, el cual se acerco a la tierra de manera radial, es decir con velocidad angular cero. Después del choque, este adquiere la velocidad de rotación terrestre. La consecuencia fue que aumentó en un segundo el periodo T de rotación terrestre, es decir al tiempo de un día se le agregó un segundo. Si consideramos a la tierra
como una esfera maciza de masa M = 5.972 × 1024 kg, demuestre que la masa del meteorito fue de m = 5.529 × 1019 kg. Ayuda recuerde que
2π
la relación entre periodo T y frecuencia ω es ω = 2(pi)/ T

Answer 1

Si solo tomamos en cuenta la energía rotacional de la Tierra, tenemos que en la colisión del meteorito con la Tierra, el momento angular del sistema se conserva. El momento angular viene definido por:

$L=Iw$

Es decir el producto entre el momento de inercia y la velocidad angular, si la Tierra se considera una esfera con distribución uniforme de masa el momento de inercia es:

$I=\frac{2}{5}MR^2$

Entonces si M es la masa de la Tierra, el momento angular antes del choque queda;

$L=\frac{2}{5}MR^2w_1$

Y si m es la masa del meteorito y como este se queda adherido a la Tierra, el momento angular después del choque es:

$L=\frac{2}{5}(M+m)R^2w_2$

Como el momento angular se conserva:

$\frac{2}{5}(M+m)R^2w_2=\frac{2}{5}MR^2w_1$

Pero la velocidad angular es:

$w=\frac{2\pi}{T}$

Queda;

$\frac{2}{5}(M+m)R^2\frac{2\pi}{T_2}=\frac{2}{5}MR^2\frac{2\pi}{T_1}\\\\\frac{M+m}{T_2}=\frac{M}{T_1}$

Ahora despejamos la masa del meteorito:

$M+m=M\frac{T_2}{T_1}\\\\m=M(\frac{T_2}{T_1}-1)$

El problema planteaba que la Tierra tiene un periodo de 86400 segundos el cual aumenta en 1 segundo luego del choque, nos queda:

$T_1=86400s\\T_2=86401s$

Si reemplazamos todos los datos en la expresión que acabamos de hallar para m queda:

$M=5,972x10^{24}kg\\\\m=5,972x10^{24}kg(\frac{86401}{86400}-1)=5,972x10^{24}kg.1,16x10^{-5}=6,91x10^{19}kg$

Los cálculos dan que la masa del meteorito era de $6,91x10^{19}kg$. Un cuerpo de la masa indicada da una prolongación del periodo de rotación de 0,8s.