Question

Determine si el conjunto S genera a R^3:


s = {(4,7,3,),(-1,2,6 ),( 2,-3,5 )}

porfa agradezco la colaboración urg..........algebra lineal

Answer 1

Para que un conjunto de 3 vectores sea base de R3, es decir cualquier vector de R3 se pueda expresar como una combinación lineal entre dichos vectores, es necesario que los 3 vectores sean linealmente independientes y que no sean coplanares (es decir no compartan el mismo plano).

Para verificar si son linealmente independientes, podemos armar una matriz con ellos:

$A=\left[\begin{array}{c}v_1\\v_2\\v_3\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}4&7&3\\-1&2&6\\2&-3&5\end{array}\right]$

El determinante de esta matriz debe ser distinto de cero para que sean linealmente independientes.

$det\left[\begin{array}{ccc}4&7&3\\-1&2&6\\2&-3&5\end{array}\right]=4(2.5-(-3).6)-7((-1).5-2.6)+3((-1)(-3)-2.2)=4.28-7(-17)+3(-1)=228$

Con lo que son linealmente independientes. Ahora hay que ver si son coplanares, dos vectores en el espacio no paralelos definen un plano cuyo vector asociado es el producto vectorial entre ellos.

$(4,7,3)x(-1,2,6)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&7&3\\-1&2&6\end{array}\right] =(7.6-2.3)i-(4.6-(-1).3)j+(4.2-(-1).7)k=(36,-27,15)$

Ahora hay que ver si el tercer vector no es coplanar con los otros dos, es decir su producto escalar con (36,-27,15) no da cero (pues este es el vector asociado al plano que forman (4,7,3) y (2,-3,5) y todo vector contenido en un plano es perpendicular al vector asociado).

$(36,-27,15).(2,-3,5)=36.2+(-27)(-3)+15.5=66$

Resumiendo, los vectores son linealmente independientes y no son coplanares, por lo que la base dada genera el espacio euclídeo.