Question

Un electrón de 0.99 eV de energía cinética inicial encuentra una barrera de altura U_0 y ancho de 0.76 nm. ¿Cuál es el coeficiente de transmisión si a) U_0 = 1 eV.

Answer 1

El coeficiente de transmisión del electrón es de 0,2, es decir, tiene un 20% de probabilidad de sortear la barrera de potencial mediante el efecto túnel.

Desarrollo paso a paso:

El electrón de esta situación deberá atravesar una barrera de energía potencial situación que graficamos en la imagen adjunta en la que se distinguen tres regiones.

• x<0
• 0<x<a
• x<a

Vamos a suponer que el electrón está inicialmente en la posición donde x es menor que cero. Para resolver el problema tenemos que analizar las soluciones de la ecuación de Schroedinger unidimensional en las tres regiones:

$\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{d^2\Psi}{dx^2}+(E-U)\Psi=0$

donde m es la masa del electrón, h la constante de Planck, E, la energía de la partícula, U la energía potencial y ψ la función de onda de la partícula. Para x<0 tenemos:

E=0,99eV

U=0V

$\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{d^2\Psi}{dx^2}+(E)\Psi=0$

Es una ecuación diferencial a coeficientes constantes, que resolvemos proponiendo como solución:

$\psi(x)=e^{\alpha x}$

Si la reemplazamos en la ecuación queda:

$\frac{h^2}{8\pi^2m}\alpha^2 e^{\alpha x}{}+(E)e^{\alpha x}=0\\\frac{h^2}{8\pi^2m}\alpha^2+E=0$

Despejo la constante de la exponencial:

$\frac{h^2}{8\pi^2m}\alpha^2+E=0\\\alpha=\ñ\sqrt{-\frac{8\pi^2mE}{h^2}}=\ñj\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}$

Con lo cual la solución para x<a queda:

$\psi_1=Ae^{-j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}x}+Be^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}x}$

La cual es una exponencial compleja, ahora hallemos la solución para 0<x<a:

E=0,99eV

U=1eV

$\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{d^2\Psi}{dx^2}+(E-U)\Psi=0$

Si aplicamos el mismo procedimiento queda:

$\psi_2=Ce^{-j\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}x}+De^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}x}$

Y para la zona donde x>a queda:

$\psi_3=A'e^{-j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}x}+B'e^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}x}$

Ya que esta es análoga a la primera zona. Pero como en esta zona no hay reflexión de la partícula queda:

$\psi_3=B'e^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}x}$

Ahora tenemos en x=0, las condiciones de continuidad y derivabilidad:

$\psi_1(0)=\psi_2(0); \\\\\frac{d\psi_1}{dx}(0)=\frac{d\psi_2}{dx}(0)$

Nos queda un sistema de ecuaciones:

$A+B=C+D\\-jA\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}+jB\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}=-C\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}+D\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}\\-jA\sqrt{E}+jB\sqrt{E}=-C\sqrt{(U-E)}+D\sqrt{(U-E)}$

Ahora en x=a, las condiciones de continuidad y derivabilidad dan:

$\psi_2(a)=\psi_3(a)\\\frac{d\psi_2}{dx}(a)=\frac{d\psi_3}{dx}(a)$

Y nos queda:

$Ce^{-\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}a}+De^{\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}a}=B'e^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}a}\\\sqrt{(U-E)}a}Ce^{-\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}a}+\sqrt{(U-E)}De^{\frac{2\pi}{h}\sqrt{m(U-E)}a}=j\sqrt{E}B'e^{j\frac{2\pi}{h}\sqrt{mE}a}$

Ahora el coeficiente de transmisión es, siendo B' la amplitud de la función de onda transmitida y B la amplitud de la función de onda incidente, la relación entre las corrientes de probabilidad:

$T=\frac{v|B'|^2}{v|B|^2}$

Para hallar las amplitudes complejas B' y B hay que resolver los sistemas de ecuaciones planteados, si lo hacemos queda:

$T=\frac{4E(U-E)}{4E(U-E)+U^2sinh(k_1.a)}$

Donde k1 es:

$k_1=\sqrt{\frac{8\pi^2m(U-E).1,6x10^{-19}J}{h^2}}=\sqrt{\frac{8\pi^2.9,11x10^{-31}(1-0,99).1,6x10^{-19}J}{(6,626x10^{-34})^2}}=5,12x10^{8}\frac{1}{m}$

Ahora reemplazando los datos queda:

$T=\frac{4.0,99eV(1eV-0,99eV)}{4.0,99(1eV-0,99eV)+(1eV)^2sinh^2(5,12x10^{8}.7,6x10^{-10})}=0,2$