Dos ciclistas parten del reposo moviendose en sentidos opuestos sobre una pista circular de radio igual
a 50 metros Si la aceleracion angular del ciclista A es de ace. igual 2 pi rd sobre s2 y la de B es de ace. igual 3 pi rd sobre s2 determine
A El tiempo y la posicion en que se
encuentran
B ¿Cuales son las velocidades angulares
Wa y Wb en el instante en que se
encuentran?
C En el momento en que se encuentran ¿que angulo forman sus vectores aceleración total?
Respuestas
El tiempo y la posición en que se encuentran los ciclistas es ФB = (6/5)*π, t = 0.89s
Las velocidades angulares Wa y Wb en el instante en que se encuentran son ωA= 5.59 rd/s, ωB= 8.39 rd/s
En el momento en que se encuentran el angulo forman sus vectores aceleración total es DФ = 19°
Un cuerpo realiza un movimiento circular uniformemente acelerado (m.c.u.a.) cuando su trayectoria es una circunferencia y su aceleración angular es constante.
Datos:
αA: Aceleración angular del ciclista "A", αA = 2*π rd/s²
αB: Aceleración angular del ciclista "B", αB = 3*π rd/s²
r: Radio de curvatura, r = 50 m
Definimos el angulo que recorre el ciclista "B" desde que inicia el movimiento hasta que se encuentran como "ФB" entonces el angulo que recorre el ciclista "A" es ФA = 2*π - ФB
Por ser un (m.c.u.a.), usamos la siguiente ecuación:
- ФA = Фo + ωo*t + (1/2)*αA * t²
- ФA = 0 + 0 + (1/2)*2*π rd/s² * t²
- 2*π - ФB = π rd/s² * t²
- 1) t² = (2*π - ФB) / π rd/s²
- ФB = Фo + ωo*t + (1/2)*αB * t²
- ФB = 0 + 0 + (1/2)*3*π rd/s² * t²
- ФB = (3/2)*π rd/s² * t²
- 2) t² = ФB / (3/2)*π rd/s²
Se iguala ecuación 1) y ecuación 2):
- (2*π - ФB) / π rd/s² = ФB / (3/2)*π rd/s²
- (3/2) rd/s² * (2*π - ФB) = ФB rd/s²
- (6/2)*π rd/s² - (3/2) rd/s² * ФB = ФB rd/s²
- ФB rd/s² + (3/2) rd/s² * ФB = 3*π rd/s²
- (5/2) rd/s² * ФB = 3*π rd/s²
- ФB = (6/5)*π
El valor de ФB se sustituye en ecuación 2):
- t² = ФB / (3/2)*π rd/s²
- t² = (6/5)*π / (3/2)*π rd/s²
- t² = (12/15)s²
- t = 0.89s
Las velocidades angulares se calculan por la siguiente ecuación:
- ωA= ωo + αA * t
- ωA= 0 + 2*π rd/s² * 0.89s
- ωA= 5.59 rd/s
ωB= ωo + αB * t
ωB= 0 + 3*π rd/s² * 0.89s
ωB= 8.39 rd/s
Para hallar la aceleración total de cada ciclista debemos hallar su aceleración tangencial "at" y aceleración centripeta "ac", para hallar su aceleración centripeta necesitamos el modulo de sus velocidades tangenciales "Vt":
- VtA = ωA * r
- VtA = 5.59 rd/s * 50m
- VtA = 279.5 m/s
- VtB = ωA * r
- VtB = 8.39 rd/s * 50m
- VtB = 419.5 m/s
Con estos valores calculamos los módulos de las aceleraciones centripetas:
- acA = VtA² / r
- acA = (279.5 m/s)² / 50m
- acA = 1562.4 m/s²
- acB = VtA² / r
- acB = (419.5 m/s)² / 50m
- acB = 3519.6 m/s²
Ahora calculamos los módulos de aceleraciones tangenciales:
- atA = αA * r
- atA = 2*π rd/s² * 50m
- atA = 314.2m/s²
- atB = αA * r
- atB = 3*π rd/s² * 50m
- atB = 471.2m/s²
Ahora los módulos de las aceleraciones totales se calculan por teorema de pitagoras:
- aTA = √( (acA)² + (atA)² )
- aTA = √( (1562.4 m/s²)² + (314.2m/s²)² )
- aTA = 1593.6 m/s²
- aTB = √( (acB)² + (atB)² )
- aTB = √( (3519.6 m/s²)² + (471.2m/s²)² )
- aTB = 3.551,0 m/s²
Calculamos el angulo que forman las aceleraciones totales con el radio del punto de encuentro:
- tg α = atA / acA
- tg α = 314.2m/s² / 1562.4 m/s²
- tg α = 0.20
- α = 11.37°
- tg β = atB / acB
- tg β = 471.2m/s² / 3519.6 m/s²
- tg β = 0.13
- β = 7.63°
Entonces el angulo entre los vectores aceleración total es la suma de α + β:
- DФ = α + β
- DФ = 11.37° + 7.63°
- DФ = 19°