Question

Un electrón en una caja unidimensional tiene estado base de d_1 eV de energía. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón absorbido cuando el electrón realiza una transición al segundo estado excitado?

Answer 1

Este problema de pozo infinito se resuelve aplicando la ecuación de Schrödinger invariante en el tiempo en una dimensión:

$(-\frac{h^2}{8\pi^2m}\nabla^2+U)\psi=0$

Donde $\psi$ es la función de onda de la partícula, h la constante de Planck y U su energía potencial. Asumimos que la partícula está dentro de la caja sin poder salir de ella con lo que la función de onda es nula fuera de ella. El operador nabla al cuadrado es el laplaciano, que es la suma de las derivadas segundas parciales. En una dimensión tengo:

$-\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=U\psi$

Es una ecuación diferencial a coeficientes constantes que se resuelve proponiendo como solución general una combinación lineal de exponenciales que terminan siendo complejos y aplicando la identidad de Euler dan funciones seno y coseno (el desarrollo completo está aquí https://brainly.lat/tarea/13253705), pero para simplificar podemos proponer:

$\psi(x)=sen(wx)$

Entonces queda:

$-\frac{h^2}{8\pi^2m}(-w^2sen(wx))=U.sen(wx)\\\\\frac{h^2w^2}{8\pi^2m}=U$

Pero tenemos que en los límites del pozo las condiciones de contorno son, siendo a el ancho del pozo:

$\psi(\frac{a}{2})=0\\\psi(-\frac{a}{2})=0$

$sen(w\frac{a}{2})=sen(-w\frac{a}{2})=0\\\\\frac{wa}{2}=n\pi\\\\w=2na\pi$

Reemplazando en la ecuación anterior:

$\frac{h^2(2na\pi)^2}{8\pi^2m}=\frac{h^24n^2a^2\pi^2}{8\pi^2m}=\frac{h^2n^2a^2}{2m}=U$

Como n tiene que ser un número entero hay valores discretos permitidos para la energía, el estado base es en n=1, el segundo es para n=2, tenemos:

$U_1=\frac{h^2a^21^2}{2m}=1eV=1,6x10^{-19}J\\\\U_2=\frac{h^2a^22^2}{2m}=4\frac{h^2a^2}{2m}=4eV=6,4x10^{-19}J\\\\\Delta U=U_2-U_1=6,4x10^{-19}J-1,6x10^{-19}J=4,8x10^{-19}J$

Para obtener la longitud de onda del fotón que necesita absorver usamos la ecuación de Planck-Einstein:

$U=\frac{hc}{\lambda}\\\\\lambda=\frac{hc}{U}=\frac{6,626x10^{-34}Js.3x10^8\frac{m}{s}}{4,8x10^{-19}J}=4,14x10^{-7}m$

Con lo cual el electrón necesita absorver un fotón de 414nm para pasar al segundo estado excitado.

Answer 2

Respuesta:

Se dice que se encuentra en estado de excitación cuando tiene mayor energía que la que corresponde a su estado basal o fundamental, produciendo un salto cuántico (saltó de un nivel de menor a mayor energía) pero es muy corto, esto después vuelve a su estado basal con la energía que tenía antes de Dr excitado y liberando en forma de cuantos de luz (fotones) la energía que le hizo en un comenzó subir de nivel energético (el salto entre niveles sólo ocurre cuando se obtiene la energía suficiente para que esto ocurra no siempre pasará porque no se en cuenta siempre la energía necesaria para hacerlo)