Question

A continuación, se presentan las ecuaciones de 2 planos. Debe emplearse un producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos, y en caso de no serlo, deben establecerse las ecuaciones paramétricas que describan la recta que se forma en la intersección de éstos. 1:5x-7y 3z=15 2:9x 2y 3z=5

Answer 1

A continuación vamos a realizar el producto vectorial o producto cruz de los dos vectores asociados a ambos planos para primeramente determinar si son paralelos y en caso de que no, habremos obtenido el vector director de la recta intersección. Los vectores asociados a los planos son los que forman sus coeficientes:

$v_1=(5,-7,3)\\v_2=(9,2,3)$

El producto vectorial es:

$v_1xv_2=(5,-7,3)x(9,2,3)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\5&-7&3\\9&2&3\end{array}\right] =((-7).3-2.3)i-(5.3-9.3)j+(5.2-9(-7))k=\\\\v_1xv_2=-27i+12j+73k=(-27,12,73)$

Hemos comprobado que los planos no son paralelos, por ende existe una recta intersección cuyo vector director es (-27,12,73), pero esto último nos define una familia de rectas con ese vector como director, debemos encontrar un punto común a los dos planos para identificar la recta que buscamos. Podemos en ambos planos asignar un valor cualquiera a alguna de las variables, por ejemplo hacemos x=1. Queda:

$5.1-7y+3z=15\\9.1+2y+3z=5\\\\-7y+3z=10\\2y+3z=-4$

Resolvemos el sistema de ecuaciones por el método de la reducción, en el cual eliminamos variables mediante combinaciones lineales miembro a miembro entre las ecuaciones:

$Ec_1-Ec_2\\\\-7y+3z-2y-3z=10-(-4)\\-9y=14\\y=-\frac{14}{9}\\\\2Ec_1+7Ec_2\\2(-7y+3z=10)+7(2y+3z=-4)\\-14y+6z+14y+21z=20-28\\27z=-8\\z=-\frac{8}{27}$

Tenemos que $(1,-\frac{14}{9},-\frac{8}{27})$ es un punto común a los dos planos. Las ecuaciones paramétricas para una recta son, sea $P=(x_p,y_p,z_p)$ un punto cualquiera de la recta y $v=(x_v,y_v,z_v)$ su vector director:

$x=x_p+tx_v, t\epsilon R\\y=y_p+ty_v, t\epsilon R\\z=z_p+tz_v, t\epsilon R$

Entonces para la recta buscada tengo:

$x=-27+t\\y=12-\frac{14}{9}t\\\\z=73-\frac{8}{27}t$

En la imagen adjunta se ve la representación de los dos planos y de la recta intersección encontrada usando el software GeoGebra.