Question

si se suman los primeros a enteros impares positivos con los primeros b enteros impares positivos, la suma es 180. si p es el mayor número impar del primer grupo y q es el mayor número impar del segundo grupo, determine el valor de p+q.

Answer 1

Del ejercicio obtenemos que: p + q = 178 - a² - b²

El primero número impar es positivo es: 1 y le siguen 3, 5, 7,....

• Si se suman los primeros "a" enteros impares positivos tenemos que:

1 + (1 + 2*1) + (1 + 2*2) + (1 + 2*3) + ..... + ( 1 + 2*(a-1))

= 1 + ∑( 1 + 2*i)     con i desde 1 hasta a - 1

= 1 +∑1 + 2*∑i = 1 + a - 1 + 2*((a*(a + 1))/2) = a + a*(a+1) = a*(1 + a + 1) = a*(a + 2)

• Si se suman los primeros "b" enteros impares positivos tenemos que:

1 + (1 + 2*1) + (1 + 2*2) + (1 + 2*3) + ..... + ( 1 + 2*(b-1))

= 1 + ∑( 1 + 2*i) con i desde 1 hasta b - 1

= 1 +∑1 + 2*∑i = 1 + b - 1 + 2*((n*(n + 1))/2) = b + b*(b+1) = b*(1 + b + 1) = b*(b + 2)

Luego la suma de los dos es:

a*(a + 2) + b*(b + 2) = 180

a² + 2a + b² + 2b = 180

2a + 2b = 180 - a² - b²

2a + 2b - 2 = 178 - a² - b²

p = 1 + 2*(a-1) = 2a - 1

q = 1 + 2*(b-1) = 2b - 1

p + q = 2a + 2b - 2

Obtenemos que: p + q = 178 - a² - b²