Question

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a. Se requiere determinar si los siguientes planos son paralelos:

π 1 : 6x- 9y- 12z =30
π 2 : 12x - 3y - 3z = 9


Nota: En caso de que no sea paralelos, encuentre la ecuación de la recta en que se intersectan. Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos en Geogebra.

Agradezco el paso a paso.

Answer 1

Dadas las ecuaciones de dos planos. Empleando el producto cruz se verifica si o no son paralelos los planos:  

No son paralelos los planos.  

La ecuación de la recta que describe la intersección de ambos planos es:  

   { x = - 9λ  

r: { y = -2 -126λ         λ ∈ R

   { z = -1 + 90λ  

Explicación:  

π₁: 6x - 9y - 12z = 30  

π₂: 12x - 3y - 3z = 9  

Si el producto cruz de los vectores normales de los planos es nulo, entonces los planos son paralelos.  

N₁×N₂ = (0,0,0) ⇒ π₁ // π₂  

Siendo;  

Normal π₁ ;  

N₁ = (6, -9, 12)  

Normal π₂ ;  

N₂ = (12, -3, -3)  

$N_{1}xN_{2}=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\6&-9&12\\12&-3&-3\end{array}\right]$  

= i[(-9)(-3)-(-3)(-12)] -j[(6)(-3)-(12)(-12)]+k[(6)(-3)-(12)(-9)]  

N₁×N₂ = -9 i -126 j +90 k  

Los planos no son paralelos.  

Ecuación de la intersección de los planos;  

π₁: 6x - 9y - 12z - 30 = 0  

π₂: 12x - 3y - 3z - 9 = 0

Hallar un P₀, asumir x = 0;  

-9y - 12z = 30 (1)  

-3y - 3z = 9 (2)  

Se obtiene un sistema de ecuaciones de 2x2;  

despejar y de 1;  

y= (-12z-30)/9

Sustituir en 2;  

-3[(-12z-30)/9] - 3z = 9

Despejar z;  

4z + 10 -3z = 9

z + 10 = 9

z = 9-10

z = -1

y= [-12(-1)-30]/9

y = -2  

P₀ = (0, -2, -1), construir la ecuación de la recta;  

r: (x,y,z) = (0, -2, -1) + λ(-9, -126, 90)  

Ecuación paramétrica de la recta.  

   { x = - 9λ  

r: { y = -2 -126λ      λ ∈ R

   { z = -1 + 90λ