Question

En el eje de coordenadas x se encuentran tres cargas, q1 = 2µC en el origen, y q3 = 4µC

en la coordenada x = +7 cm. Determina la posición donde debe colocarse una carga q2

para que la fuerza eléctrica resultante sea nulo.​

Answer 1

Para que la fuerza eléctrica resultante sea nula sobre q2, determinamos que esta se debe colocar en un punto entremedio de q1 y q3, dado que de acuerdo al signo de q2, q1 y q3 ejercerán sobre q2 sendas fuerzas de atracción o de repulsión que en un punto entre x=0 y x=7 tenderán a contrarrestarse. La magnitud de estas fuerzas está dada por la Ley de Coulomb:

$F=k\frac{q_1q_2}{d^2}\\\\k=9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}~ Constante~de~Coulomb~en~el~vacio\\d=distancia~entre~las~cargas$

Nos queda:

$d_{q1-q2}=x\\d_{q3-q2}=d-x\\\\k\frac{q_1q_2}{x^2}=k\frac{q_3q_2}{(d-x)^2}\\\\\frac{q_1}{x^2}=\frac{q_3}{(d-x)^2}\\q_1(d-x)^2=q_3x^2$

Desglosando los cuadrados queda:

$q_1(d-x)^2=q_3x^2\\q_1(d^2-2dx+x^2)=q_3x^2\\q_1d^2-2q_1dx+(q_1-q_3)x^2=0$

Reemplazando:

$2x10^{-6}C.(0,07m)^2-2.2x10^{-6}C.0,07mx+(2x10^{-6}C-4x10^{-6}C)x^2=0\\\\9,8e^{-9}-2,8x10^{-7}x-2x10^{-6}x^2=0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$x_{1,2}=\frac{2,8x10^{-7}\ñ\sqrt{(2,8x10^{-7})^2-4.(-2x10^{-6})(9,8e^{-9})}}{2(-2x10^{-6})}\\ \\x_{1,2}=\frac{2,8x10^{-7}\ñ\sqrt{7,84x10^{-14}+7,84x10^{-14}}}{-4x10^{-6}}=\frac{2,8x10^{-7}\ñ3,96x10^{-7}}{-4x10^{-6}}\\\\x_1=-0,169m\\x_2=0,029m$

Como dijimos al principio que la carga q2 tiene que estar en un punto entremedio de q1 y q3, queda que la carga q2 tiene que estar en x=2,9cm para que la fuerza neta en ella sea nula.