Question

Se hace que un mol de un gas monoatómico ideal recorra el ciclo mostrado en la figura.
¿Cuánto trabajo se efectúa sobre el gas al expandirlo de “a” a “c” a lo largo de la trayectoria abc?
¿Cuál es el cambio de la energía interna y en la antropía al pasar de b a c?
¿Cuál es el cambio de la energía interna y en la antropía al desarrollar un ciclo completo?
Exprese todas las respuestas en términos de la presión P_0 y del volumen V_0 en el punto a del diagrama .

Answer 1

Para que el gas pase de a a c se le efectúa un trabajo de $3P_0V_0$, de b a c la energía interna cambia en $6P_0V_0$ y la entropía de b a c es 8,64 J/K, luego tanto la entropía como la variación de energía  interna a lo largo de todo el ciclo es 0 porque es un proceso reversible.

Desarrollo:

Este proceso incluye una isobara de a a b y una isocora de b a c, procesos de los que vamos a hallar las respectivas ecuaciones.

Para hallar el trabajo en cada proceso vamos a desarrollar la ecuación:

$dW=Fdr = P.Adr = PdV$

En la isobara la presión es constante por lo que tenemos:

$W_{ab}=\int\limits^b_a {P} \, dV=P\int\limits^b_a {} \, dV=P_0(V_b-V_a)=P_0(4V_0-V_0)\\\\W_{ab}=3P_0V_0$

Ahora para la isocora el volumen es constante por lo que la misma ecuación queda:

$dW=PdV\\dV=0=> W{bc}=0$

Por lo que solo se efectúa trabajo en la isobara, y el trabajo total es $W_{abc}=3P_0V_0$.

En cada parte del proceso se cumple el primer principio de la Termodinámica.

$Q=\Delta U+W$

Como en la isocora no se efectúa trabajo, todo el calor aplicado se destina a cambiar la energía interna.

$Q=\Delta U$

Y el calor específico que actúa es el calor específico a volumen constante con lo que es:

$Q=nC_v(T_c-T_b)$

De la ley de los gases ideales despejo la temperatura:

$PV=nRT\\\\T=\frac{PV}{nR}$

Y queda:

$Q=nC_v(\frac{P_cV}{nR}-\frac{P_b}{nR})\\\\V=4V_0=> Q=\frac{4V_0C_v}{R}(2P_0-P_0)=\frac{4V_0C_v}{R}P_0$

Pero en un gas monoatómico ideal es:

$C_v=\frac{3}{2}R=> Q=\Delta U=\frac{4V_0\frac{3}{2}R}{R}P_0=6P_0V_0$

Ahora vamos a hallar la entropía de la isocora:

$\Delta S=\int\limits^{T_c}_{T_b} {\frac{\delta Q}{T}} \, dT =nC_v\int\limits^{T_c}_{T_b} {\frac{1}{T}} \, dT =nC_Vln(\frac{T_c}{T_b})$

Pero como:

$n=1\\\\T=\frac{PV}{nR}$

$C_v=\frac{3}{2}R$

Queda:

$\Delta S=1.\frac{3}{2}Rln(\frac{\frac{P_cV}{nR}}{\frac{P_bV}{nR}})=\frac{3}{2}Rln(\frac{2P_0}{P_0})=\frac{3}{2}Rln(2)=8,64\frac{J}{K}$

Con lo cual la variación de energía interna de b a c es $\Delta U=6P_0V_0$ y la variación de entropía de b a c es 8,64 J/K

Luego como abc es un ciclo cerrado vamos a tener que tanto la variación de energía interna como la variación de la entropia a lo largo de todo el ciclo valen 0, ya que ambas son funciones de estado, y el sistema retorna al estado a, que es un estado único de energía interna.