Question

8. Para qué valores de "a" el sistema
[(a+1)x + 7y = 13 ........ (1)
5x + (a - 1)y= 23 ........ (II)
será compatible determinada
9. Hallar "m", si el sistema:
(m-1)x + 3y = 15 ........ (1)
4x + my = 20 ........ (II)
es incompatible​

Answer 1

Para los dos sistemas de ecuaciones lineales haremos el planteo de la Regla de Cramer. Como veremos después, tal método solo puede usarse para sistemas compatibles determinados y sea el sistema:

$a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2$

Tenemos que las variables son:

$x=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{det\left[\begin{array}{cc}c_1&b_1\\c_2&b_2\end{array}\right] }{det\left[\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right]}\\\\y=\frac{\Delta x}{\Delta}=\frac{det\left[\begin{array}{cc}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{array}\right] }{det\left[\begin{array}{cc}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{array}\right]}$

Como corolario de esto, para que el sistema sea compatible determinado, es decir tenga una única solución, el determinante de la matriz de los coeficientes debe ser distinto de cero.

8) Planteo el determinante de la Matriz de los Coeficientes.

$\Delta=det\left[\begin{array}{cc}a+1&7\\5&a-1\end{array}\right] =(a+1)(a-1)-5.7\\\\\Delta=a^2-1-35$

Ahora los valores de a que harán el sistema o bien compatible indeterminado o bien incompatible son:

$a^2-36=0\\a=6\\a=-6$

De modo que el sistema será compatible para cualquier valor real de a que no sea 6 ni -6, es decir será compatible ∀a∈(R-{-6,6})

9) El determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es:

$\Delta=det\left[\begin{array}{cc}m-1&3\\4&m\end{array}\right] =m(m-1)-4.3\\\\\Delta=m^2-m-12$

Ahora resolvemos la ecuación cuadrática para determinar aquellos valores de m que hagan el sistema o bien incompatible o bien compatible indeterminado.

$m_{1,2}=\frac{1\ñ\sqrt{1^2-4.1.(-12)} }{2.1} =\frac{1\ñ 7 }{2} \\\\m_1=4\\m_2=-3$

Planteamos la matriz ampliada del sistema:

$\left[\begin{array}{cccc}m-1&3&|&15\\4&m&|&20\end{array}\right]$

Si hay combinaciones lineales entre las filas completas de la matriz el sistema es compatible indeterminado, es decir tiene infinitas soluciones. Si existen combinaciones lineales entre filas de la matriz de la izquierda pero estas no se replican en la columna derecha, el sistema es incompatible, es decir no tiene solución. Planteemos la matriz ampliada para m=4:

$\left[\begin{array}{cccc}4-1&3&|&15\\4&4&|&20\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}3&3&|&15\\4&4&|&20\end{array}\right]$

Vemos fácilmente que si multiplicamos la primera fila por 4 y luego la dividimos por 3 obtenemos la segunda, con lo que existe combinación lineal entre las dos ternas y el sistema es compatible indeterminado.

Ahora con m=-3 queda:

$\left[\begin{array}{cccc}-3-1&3&|&15\\4&-3&|&20\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-4&3&|&15\\4&-3&|&20\end{array}\right]$

Vemos que en la matriz de la izquierda la segunda fila es la primera multiplicada por -1 luego en la derecha el término independiente de la segunda fila no es el de la primera por -1, con lo que el sistema es incompatible.

Con lo que el valor de m que hace incompatible al sistema es -3.