Question

calcule la derivada implicita de la siguiente funcion ln⁡〖(xy)+√(x+y)=2

Answer 1

Esta derivada se va a resolver aplicando el Teorema de la función implícita para considerar a la variable y como una función de x, se deriva en función de x en ambos términos pero y es tratada como una función y=f(x). Y queda:

$f(x,y):ln(xy)+\sqrt{x+y}=2$

En el segundo miembro la derivada es 0, en el primer miembro aplicamos la regla de la cadena en ambos términos haciendo y=f(x):

$f'(x,y): \frac{1}{xy}.y'+\frac{1}{2\sqrt{x+y}}.(1+y')=0$

Ahora desglosamos los términos y queda:

$\frac{y'}{xy}+\frac{1}{2\sqrt{x+y}}+\frac{y'}{2\sqrt{x+y}}=0$

Ahora reagrupamos y despejamos y':

$y'(\frac{1}{xy}+\frac{1}{2\sqrt{x+y}})=-\frac{1}{2\sqrt{x+y}}\\\\y'\frac{2\sqrt{x+y}+xy}{2xy\sqrt{x+y}}=-\frac{1}{2\sqrt{x+y}}\\\\y'\frac{xy+2\sqrt{x+y}}{xy}=-1\\\\y'=-\frac{xy}{xy+2\sqrt{x+y}}$

Nos queda que la derivada de la función es $y'=-\frac{xy}{xy+2\sqrt{x+y}}$