Question

Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):
Se requiere determinar si los siguientes planos son paralelos:
pi1: 6x-9y-12z=30
pi2: 12x-3y-3z=9
En caso de que no sea paralelos, encuentre la ecuación de la recta en que se intersectan. Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos.

Answer 1

Dadas las ecuaciones de dos planos. Empleando el producto cruz se verifica si o no son paralelos los planos:

No son paralelos los planos.

La ecuación de la recta que describe la intersección de ambos planos es:

    { x = - 9λ  

r:  { y = -2 -126λ       λ ∈ R

   { z = -1 + 90λ

Explicación:  

π₁: 6x - 9y - 12z = 30

π₂: 12x - 3y - 3z = 9  

Si el producto cruz de los vectores normales de un plano es nulo, entonces los planos son paralelos.

N₁×N₂ = (0,0,0) ⇒ π₁ // π₂

Siendo;

Normal π₁ ;

N₁ = (6, -9, 12)

Normal π₂ ;

N₂ = (12, -3, -3)

$N_{1}xN_{2}=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\6&-9&12\\12&-3&-3\end{array}\right]$

= i[(-9)(-3)-(-3)(-12)] -j[(6)(-3)-(12)(-12)]+k[(6)(-3)-(12)(-9)]

N₁×N₂ = -9 i -126 j +90 k  

Los planos no son paralelos.

Ecuación de la intersección de los planos;

π₁: 6x - 9y - 12z - 30 = 0  

π₂: 12x - 3y - 3z - 9  = 0

Hallar un P₀, asumir x = 0;

-9y - 12z = 30 (1)

-3y - 3z = 9 (2)

Se obtiene un sistema de ecuaciones de 2x2;

despejar y de 1;

y= (-12z-30)/9

Sustituir en 2;

-3[(-12z-30)/9] - 3z = 9

Despejar z;

4z + 10 -3z = 9

z + 10 = 9

z = 9-10

z = -1

y= [-12(-1)-30]/9

y = -2

P₀ = (0, -2, -1), construir la ecuación de la recta;

r: (x,y,z) = (0, -2, -1) + λ(-9, -126, 90)

Ecuación paramétrica de la recta.

    { x = - 9λ  

r:  { y = -2 -126λ       λ ∈ R

   { z = -1 + 90λ