Question

si se tiene un pedazo de carton de radio de 5cm y se desea cortar el rectangulo de mayor area posible ¿de que dimensiones debe ser dicho rectangulo?​

Answer 1

Sean x e y la base y la altura del rectángulo. Los extremos de la diagonal del rectángulo forman el diámetro del círculo, que vale 10 cm

La superficie es S = x . y

Pero x² + y² = 100; de modo que y = √(100 - x²)

Queda: S = x √(100 - x²)

Se observa que para x = 0, x = 10, S = 0

Entre 0 y 10 debe haber un valor máximo.

Una función es máxima en un punto si su primera derivada es nula en este punto, para este caso.

Derivamos (es un producto)

S' = 1 . √(100 - x²) + x . 1 / [2 √(100 - x²)] (- 2 x)

S' = √(100 - x²) - x² / √(100 - x²)

S' = (100 - x² - x²) / √(100 - x²) = 0

Implica 100 - 2 x² = 0; x = 5 √2

y = √[100 - (5 √2)²] = 5 √2

Para x = 5 √2, S = 5 √2 . 5 √2 = 50

S max = 50 cm²

Base = 5 √2 cm

Altura = 5 √2 cm

El tal rectángulo resulta ser un cuadrado.

Mateo