Question

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.

Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95).

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes.

∫▒〖(x^2-2x+5) e^(-x) dx〗

Answer 1

La primitiva buscada mediante integración por partes es $F(x)=-e^{-x}(x^2+5)+C, C \epsilon R$.

Desarrollo:

En un desarrollo de integración por partes se calcula la integral mediante esta identidad:

$\int\limits^{}_{} {u} \, dv = u.v-\int\limits^{}_{} {v} \, du$

Que resulta ser la inversa de la regla de producto para derivadas.

En este caso particular tenemos:

$\int\limits^{}_{} {u} \, dv=\int\limits^{}_{} {(x^2-2x+5)e^{-x}} \, dx$

Conviene tomar:

$dv=e^{-x}$

Ya que u es la función que se deriva y al ser un polinomio va a disminuir su grado a medida que vayamos derivándola. Queda pues:

$v=\int\limits^{}_{} {} \, dv =\int\limits^{}_{} {e^{-x}} \, dx =-e^{-x}\\u=x^2-2x+5\\du=(2x-2) dx$

Reemplazando estas expresiones en la identidad planteada queda:

$\int\limits^{}_{} {(x^2-2x+5)e^{-x}} \, dx=-e^{-x}(x^2-2x+5)-\int\limits^{}_{} {-e^{-x}(2x-2)} \, du\\\int\limits^{}_{} {(x^2-2x+5)e^{-x}} \, dx=-e^{-x}(x^2-2x+5)+\int\limits^{}_{} {e^{-x}(2x-2)} \, dx$ (1)

Ahora tenemos que realizar una segunda integración por partes para resolver la siguiente integral.

$\int\limits^{}_{} {e^{-x}(2x-2)} \, dx$

Acá tomamos:

$dv=e^{-x}\\v=\int\limits^{}_{} {e^{-x}} \, dx=-e^{-x}\\\\u=2x-2\\du=2dx$

Esta nueva integral por partes queda:

$\int\limits^{}_{} {e^{-x}(2x-2)} \, dx=-e^{-x}(2x-2)-\int\limits^{}_{} {-2e^{-x}}dx\\\int\limits^{}_{} {e^{-x}(2x-2)} \, dx=-e^{-x}(2x-2)+2\int\limits^{}_{} {e^{-x}}dx\\\int\limits^{}_{} {e^{-x}(2x-2)} \, dx=-e^{-x}(2x-2)-2e^{-x}=-2xe^{-x}+2e^{-x}-2e^{-x}=-2xe^{-x}$ (2)

Ahora queda reemplazar la ecuación (2) en la (1)

$\int\limits^{}_{} {(x^2-2x+5)e^{-x}} \, dx=-e^{-x}(x^2-2x+5)-2xe^{-x}\\\int\limits^{}_{} {(x^2-2x+5)e^{-x}} \, dx=-x^2e^{-x}+2xe^{-x}-5e^{-x}-2xe^{-x}=-e^{-x}(x^2+5)$

Con lo que la primitiva buscada es $F(x)=-e^{-x}(x^2+5)+C, C \epsilon R$