Question

Verifiquen las siguientes igualdades entre las identidades trigonométricas:


A ) (cotg β - cosec β) . (1 + cos β) = - sen β

B ) Sec2 β = (sec2 - 1) . cosec2 β

c) ) Sec2 β = (sec2 β - 1) . cosec2 β

Answer 1

Para verificar las igualdades entre las identidades trigonométricas nos debemos valer de las identidades conocidas y propiedades de las funciones trigonométricas. Y el procedimiento aquí va a ser intentar llegar a la igualdad desarrollando uno de los miembros hasta que sea igual al otro.

a) En este caso el primer miembro es:

$(cotg(\beta)-cosec(\beta))(1+cos(\beta))$

Tenemos que:

$cotg(\beta)=\frac{cos(\beta)}{sen(\beta)}\\\\cosec(\beta)=\frac{1}{sen(\beta)}$

Reemplazamos en la ecuación:

$(\frac{cos(\beta)}{sen(\beta)}-\frac{1}{sen(\beta)})(1+cos(\beta))\\\\(\frac{cos(\beta)-1}{sen(\beta)})(1+cos(\beta))=\frac{(cos(\beta)-1)(1+cos(\beta))}{sen(\beta)}=\frac{cos(\beta)+cos^2{\beta}-1-cos(\beta)}{sen(\beta)}=\\\\=\frac{cos^2{\beta}-1}{sen(\beta)}=\frac{-(1-cos^2{\beta})}{sen(\beta)}$

Tenemos que:

$1-cos^2(\beta)=sen^2(\beta)$

Queda:

$\frac{-(1-cos^2{\beta})}{sen(\beta)}=\frac{-sen^2{\beta}}{sen(\beta)} =-sen(\beta)$

Con lo que queda comprobada la igualdad.

B) Empiezo desarrollando el segundo miembro:

$cosec^2(\beta)(sec^2(\beta)-1)$

Tengo que:

$cosec(\beta)=\frac{1}{sen(\beta)}\\sec(\beta)=\frac{1}{cos(\beta)}$

Reemplazando en la fórmula anterior:

$cosec^2(\beta)(sec^2(\beta)-1)=\frac{1}{sen^2(\beta)}.(\frac{1}{cos^2(\beta)}-1)\\cosec^2(\beta)(sec^2(\beta)-1)=\frac{1}{sen^2(\beta)}.(\frac{1-cos^2(\beta)}{cos^2(\beta)})=\frac{1}{sen^2(\beta)}.\frac{sen^2(\beta)}{cos^2(\beta)}=\frac{1}{cos^2(\beta)}$

Pero:

$\frac{1}{cos^2(\beta)}=sec^2(\beta)$

Con lo que queda comprobada la igualdad.

c) Es el mismo ejercicio que el B.