Question

Supón que la Tierra se detiene súbitamente en su órbita alrededor del Sol. ¿Cuál será su velocidad cuando choque con el Sol?

Answer 1

La Tierra puede mantener una órbita alrededor del Sol gracias a que la fuerza centrípeta compensa a la fuerza de atracción gravitatoria del Sol. Si la Tierra detiene súbitamente su órbita alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria atraerá a la Tierra. Esta fuerza es:

$F_g=G\frac{m_{Sol}.m_{Tierra}}{d^2}$

Es una fuerza que irá aumentando a medida que la Tierra se acerca al Sol, por lo que la energía potencial gravitatoria que tiene la Tierra en su órbita es:

$E_p=\int\limits^r_{r_s} {F} \, dd =G.m_{Sol}.m_{Tierra}\int\limits^r_{r_s} \, \frac{dd}{d^2}\\E_p=G.m_{Sol}.m_{Tierra}(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_s} )$

Donde:

$G=6,674x10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}$ Constante de gravitación Universal.

$r=1,496x10^{11}m$ Distancia media de la Tierra al Sol.

$r_s=6,96x10^{8}m$ Radio solar, la Ley de Gravitación Universal considera al Sol como puntual con su masa concentrada en su centro, y al momento del impacto la Tierra estará a esta distancia del centro del Sol ya que choca contra la superficie de este. Por eso calculo la integral desde esta distancia.

$m_{Sol}=2x10^{30}kg\\m_{Tierra}=5,98x10^{24}kg$

Reemplazando:

$E_p=6,674x10^{-11}.2x10^{30}.5,98x10^{24}(\frac{1}{1,496x10^{11}}-\frac{1}{6,96x10^{8}} )=1,15x10^{36}J$

Esta energía potencial se convertirá en energía cinética cuando la Tierra choca con el Sol:

$E_g=\frac{1}{2}m_{Tierra}.v^2$

Y la velocidad al momento del impacto es:

$v=\sqrt{\frac{2E_g}{m_{Tierra}}}=\sqrt{\frac{2.1,15x10^{36}J}{5,98x10^{24}kg}}=621\frac{km}{s}$

Con lo que concluimos que Si la Tierra se detuviera de repente en su movimiento de traslación alrededor del Sol impactaría contra este a $621\frac{km}{s}$