Question

Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 0/0

Answer 1

Primero vamos a intentar hallar el límite para ver que se trata de un límite indeterminado de tipo 0/0 (Si bien en lo que sigue vamos a demostrar que es un límite finito de valor $\frac{1}{\sqrt{b}}$).

$\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{b+t}-\sqrt{b-t}}{t}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{b}}{0}$

En efecto lo es. Para salvar una indeterminación de este tipo, podemos usar la regla de L'Hoppital (consistente en derivar numerador y denominador por separado y así intentar de nuevo calcular el límite), o recurrir a los recursos del álgebra. Lo que vamos a hacer es completar en el numerador la diferencia de cuadrados, por la cual sean a y b dos números reales cualesquiera se cumple que:

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Y vamos a multiplicar numerador y denominador por un mismo término.

$\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{b+t}-\sqrt{b-t}}{t}\frac{\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t}}{(\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t})}$

Operando tenemos:

$\lim_{t \to 0} \frac{(\sqrt{b+t})^2-(\sqrt{b-t})^2}{t(\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t})}=\lim_{t \to 0} \frac{b+t-(b-t)}{t(\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t})}=\lim_{t \to 0} \frac{2t}{t(\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t})}\\=\lim_{t \to 0} \frac{2}{(\sqrt{b+t}+\sqrt{b-t})}=\frac{2}{\sqrt{b+0}+\sqrt{b-0}} =\frac{1}{\sqrt{b}}$

Con lo que pudimos concluir que el límite existe y vale $\frac{1}{\sqrt{b}}$