Question

TEMATICA
1. Evaluar el siguiente límite
2. Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma 0/0
3. Calcular el siguiente límite al infinito
4. Evaluar el siguiente límite trigonométrico

Answer 1

A continuación encaramos la resolución de estos límites:

1) Vamos a ver si este límite es determinado:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3-2x^2+4x+8}{\sqrt{4x+5} } = \frac{1^3-2.1^2+4.1+8}{\sqrt{4.1+5} }=\frac{1-2+4+8}{\sqrt{9} } =\frac{10}{3}$

El límite existe y vale 10/3

2) Tanteamos el límite:

$\lim_{x \to -2} \frac{x^3+3x^2+2x}{x^2-2x-6} =\frac{(-2)^3+3(-2)^2+2(-2)}{(-2)^2-(-2)-6}=\frac{0}{0}$

Tiene una indeterminación tipo 0/0, intentamos factorizar los componentes, en cuanto al numerador:

$x^3+3x^2+2x=x(x^2+3x+2)=0\\x_{1,2}=\frac{-3\±\sqrt{3^2-4.2} }{2.1} =\frac{-3\±1}{2} \\x_1=-2\\x_1=-1$

Queda:

$x(x+1)(x+2)$

Para el denominador:

$x^2-x-6=0\\x_{1,2}=\frac{1\±\sqrt{1^2-4.1.(-6)} }{2.1} =\frac{1\±5}{2} \\x_1=3\\x_2=-2\\q(x)=(x+2)(x-3)$

Replanteamos el límite:

$\lim_{x \to -2} \frac{x(x+1)(x+2)}{(x+2)(x-3)}=\lim_{x \to -2} \frac{x(x+1)}{(x-3)} =\frac{(-2)(-2+1)}{-2-3}=-\frac{2}{5}$

El límite existe y vale -2/5

3)Planteando el límite:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-5}{2x+5}=\frac{\infty}{\infty}$

Porque ambos polinomios divergen cuando x tiende a valores cada vez más grandes. Sacamos factor común de x en numerador y denominador:

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x-5}{2x+5}=\lim_{x \to \infty} \frac{x(x+1-\frac{5}{x})}{x(2+\frac{5}{x})}=\frac{(x+1-\frac{5}{x})}{(2+\frac{5}{x})}=\frac{\lim_{x \to \infty}(x+1-\frac{5}{x})}{\lim_{x \to \infty}(2+\frac{5}{x})}=\frac{\infty}{2}=\infty$

La función diverge hacia más infinito cuando x tiende a valores cada vez más grandes.

4) El límite trigonométrico planteado es:

$\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } \frac{sin(x)-cos(x)}{1-tg(x)} =\frac{0,707-0,707}{1-1}=\frac{0}{0}$

Es indeterminado de tipo 0/0, aplicamos la identidad de la tangente al denominador:

$\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } \frac{sin(x)-cos(x)}{1-tg(x)} =\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } \frac{sin(x)-cos(x)}{1-\frac{sin(x)}{cos(x)}}=\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } \frac{sin(x)-cos(x)}{\frac{cos(x)-sin(x)}{cos(x)}}=\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } (-cos(x))\\\lim_{x \to {\frac{\pi}{4}} } (-cos(x))=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

El límite existe y vale $-\frac{\sqrt{2}}{2}$