Question

Desarrollar los productos y simplificar el resultado​

Answer 1

Respuesta:

A)

$(a {}^{2} + 3b) {}^{2} - (a {}^{2} - 3b) {}^{2}$

Sustituimos ''a^2'' por ''s'' para convertir los binomios en productos notables:

$(s + 3b) {}^{2} - (s - 3b) {}^{2}$

Los dos binomios son productos notables de la forma '' cuadrado de un binomio '', los cuales se desarrollan en un ''trinomio cuadrado perfecto''.

$(x + a) {}^{2} = x {}^{2} + 2ax + a {}^{2}$

Sustituimos:

El primer binomio:

$(s + 3b) {}^{2} = (s ){}^{2} + 2(3b)(s) + (3b) {}^{2}$

$(s + 3b) {}^{2} = s {}^{2} + 6bs + 9b^{2}$

Y el segundo:

$(s - 3b) {}^{2} =( s ){}^{2} + 2( - 3b)(s) + ( - 3b) {}^{2}$

$(s - 3b) {}^{2} = s {}^{2} - 6bs + 9b {}^{2}$

Ahora sustituimos toda la expresión:

$(s + 3b) {}^{2} - (s - 3b) {}^{2} =$

$(s {}^{2} + 6bs + 9b {}^{2} ) - (s {}^{2} - 6bs + 9b {}^{2} )$

$s {}^{2} + 6bs + 9b {}^{2} - s {}^{2} + 6bs - 9b {}^{2}$

Simplificamos terminos semejantes:

$12bs$

Volvemos a sustituir ''s'' por ''a^2''

$12b(a {}^{2} )$

$12ba {}^{2}$

B)

$3((2p - 4)(2p + 4) + 8p)$

Adentro del paréntesis hay otro producto notable, llamado ''suma por la diferencia de binomios'', el cual se desarrolla como una ''diferencia de cuadrados'':

$(x - a)(x + a) = x {}^{2} - a {}^{2}$

Desarrollamos la expresión:

$(2p - 4)(2p + 4) = (2p) {}^{2} - (4) {}^{2}$

$(2p - 4)(2p + 4) = 4p {}^{2} - 16$

Lo sustituimos en toda la expresión:

$3(4p {}^{2} - 16 + 8p)$

Aplicamos propiedad distributiva para multiplicar:

$12p {}^{2} - 48 + 24p$

Ordenamos los terminos, en forma de ecuación cuadrática (primero la variable con exponente 2, segundo la variable con exponente 1, y tercero el término sin variable; de derecha a izquierda) :

$12p {}^{2} + 24p - 48$

C)

$\frac{1}{2} y + (( \frac{1}{2} y - 1) {}^{3} - ( \frac{1}{2} y {}^{2} + \frac{2}{3} )( \frac{1}{2} y {}^{2} + \frac{1}{3} ))$

Dentro del gran paréntesis hay dos productos notables, uno es el ''cubo de un binomio'' y otro es el ''producto de la forma (x+a)(x+b)''.

Desarrollamos el cubo de un binomio de la siguiente forma:

$(a + b) {}^{3} = a {}^{3} + b {}^{3} + 3ab(a + b)$

Desarrollamos la expresión del problema:

$( \frac{1}{2} y - 1) {}^{3} =$

$( \frac{1}{2} y) {}^{3} + ( - 1) {}^{3} + 3( \frac{1}{2}y )( - 1)( \frac{1}{2} y + ( - 1))$

Simplificamos:

$\frac{1}{8} y {}^{3} - 1 - \frac{ 3}{2}y ( \frac{1}{2} y - 1)$

$\frac{1}{8} y {}^{3} - 1 - \frac{3}{4} y {}^{2} \: + \frac{3}{2} y$

Se ordena en forma de ''trinomio cúbico perfecto'':

$\frac{1}{8} y {}^{3} - \frac{3}{4}y {}^{2} + \frac{3}{2} y - 1$

Desarrollamos el ''producto de la forma (x+a)(x+b)'' de la siguiente forma:

$(x + a)(x + b) = x {}^{2} + (a + b)x + ab$

Desarrollamos la expresión del problema:

$( \frac{1}{2}y {}^{2} + \frac{2}{3} ) ( \frac{1}{2} y {}^{2} + \frac{1}{3} ) =$

$( \frac{1}{2} y {}^{2} ) {}^{2} + ( \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) \frac{1}{2} y {}^{2} + ( \frac{2}{3} )( \frac{1}{3} )$

$\frac{1}{4} y {}^{4} + \frac{1}{2} y {}^{2} + \frac{2}{9}$

Sustituimos los 2 desarrollos en la expresión inicial:

$\frac{1}{2} y + (( \frac{1}{8} y {}^{3 } - \frac{3}{4} y {}^{2} + \frac{3}{2} y - 1) - ( \frac{1}{4} y {}^{4} + \frac{1}{2} y {}^{2} + \frac{2}{9} )$

$\frac{1}{2} y + (\frac{1}{8} y {}^{3} - \frac{3}{4} y {}^{2} + \frac{3}{2} y - 1 - \frac{1}{4} y {}^{4} - \frac{1}{2} y {}^{2} - \frac{2}{9} )$

$\frac{1}{2} y + ( - \frac{1}{4} {y }^{4} + \frac{1}{8} y {}^{3} - \frac{5}{4} y {}^{2} + \frac{3}{2} y - \frac{11}{9} )$

$- \frac{1}{4} y {}^{4} + \frac{1}{8} y {}^{3} - \frac{5}{4} y {}^{2} + 2y - \frac{11}{9}$

Espero te sirva, si tienes dudas dime =)

Pasa buenas noches y suerte en tu tarea.