Question

F(t)=A Sen (Bt)+D; F(t)= A + D;
Con A Distinto de 0

La profundidad del agua en un tanque realiza una oscilación completa cada seis horas. Si la profundidad menor es de 5.5 pies, y la profundidad mayor es de 8.5 pies.

A. encuentre una posible fórmula para la profundidad en términos del tiempo en horas.

B. Grafique la función F(t).

C. ¿A qué hora se tiene una profundidad de 3 pies?

D. ¿Cual es la profundidad del agua a las 3 AM?

Answer 1

La magnitud requerida va a seguir la ley de variación:

$f(t)=A.sen(Bt)+D$

Si la profundidad realiza una oscilación completa cada 6 horas y el tiempo está en horas, tengo la velocidad angular B, que es:

$B=\frac{2\pi }{T} =\frac{2\pi }{6}=\frac{\pi }{3}$

Y la diferencia entre profundidades es el doble de la amplitud (el mínimo es el pico negativo y el máximo el pico positivo.)

$2A=8,5ft-5,5ft=3ft\\A=1,5ft$

Ahora queda hallar el término D, en el máximo el tanque tiene 8,5ft:

$f(t)=D+1,5ft.sen(\frac{\pi }{3}t )\\f(max)=8,5ft=D+1,5ft\\D=7ft.$

La ecuación horaria queda:

$f(t)=7ft+1,5ft.sen(\frac{\pi }{3}t )$

b) La función se puede dibujar en una hoja cuadriculada, es una sinusoide de amplitud 1,5ft y desplazada en y 7ft hacia arriba.

c) La profundidad nunca llega a 3ft porque la menor profundidad posible es 5,5ft según la ecuación que hallamos.

d) En este punto estaría faltando la referencia de la hora a la que comienza el ciclo, donde la profundidad es 7ft. Vamos a tomar que esa hora es la hora 0. A las 3am tengo:

$f(t)=7ft+1,5ft.sen(\frac{\pi }{3}.3 )=7ft+1,5ft.sen(\pi )=7ft + 1,5.0=7ft.$