Question

Utilice papel, lápiz, regla, y compás para dibujar esta figura.
Ahora reconstrúyala utilizando Geo-Gebra o cualquier otro programa de geometría dinámica.
¡Explique sus procedimientos!

Alguien que me ayude por favor :)

Answer 1

Para dibujar esta figura utilizando lápiz, regla y compás es importante saber qué tipo de líneas contiene. Tales componentes son 3 rectas y 5 arcos de circunferencia que a continuación será necesario reconstruir para dibujarla y luego representarla con un software.

Empecemos tomando un punto de referencia para un sistema de coordenadas el cual será el punto medio del segmento horizontal, para que el eje y coincida con el de simetría de la figura. También voy a adoptar para los extremos de él las coordenadas (-1,0) y (1,0) respectivamente, de modo que la longitud del segmento horizontal es 2 (en rojo en la imagen). Tenemos que está descripto por la recta:

$y=0$

Hay sendos arcos de circunferencia con centro en uno de los extremos del segmento horizontal y que lo cortan en el extremo opuesto. Por lo que su radio es 2 (en verde en la imagen). Con lo que para dibujarlos, se apoya la púa del compás en (1,0), la mina en (-1,0) y se traza la semicircunferencia, luego hago lo propio con la pua en (-1,0) y la mina en (1,0). Con la información recabada los arcos verdes están descriptas por las circunferencias:

$(x-1)^2+y^2=4\\(x+1)^2+y^2=4$

Ahora estamos en condiciones de decir que los segmentos oblícuos también tienen longitud 2. En la imagen están en celeste. Con un transportador, veremos que forman sendos ángulos de -60° con el eje horizontal. Así que las coordenadas donde cada segmento celeste corta al respectivo arco verde son:

$x_1= 1+2.cos(-60\°) = 1+2.(0,5)=1+1=2\\y_1=2.(-sen(-60\°))=2.(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\sqrt{3}=-1,732$

Como la figura es simétrica los puntos buscados son:

$(2,-\sqrt{3});(-2,-\sqrt{3})$

En estas condiciones, para dibujar los segmentos celestes, trazo con un transportador ángulos de 60° hacia abajo y hacia afuera en cada extremo del segmento rojo y luego trazo los segmentos en esas direcciones hasta las circunferencias.

Como ahora se que los segmentos celestes pertenecen a rectas que forman un ángulo de 60° y de -60° con la horizontal, los vectores directores de estas son:

$v_1=(cos(60\°),sen(60\°))=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}) = (1,\sqrt{3}) \\v_2=(cos(-60\°),sen(-60\°))=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=(1,-\sqrt{3})$

Y sabiendo que la recta que forma ángulo de -60° pasa por (1,0) y la que forma ángulo de 60° pasa por (-1,0), los segmentos oblícuos están descriptos por las siguientes rectas:

$(x,y)=(1,0)+\lambda(1,-\sqrt{3}), \lambda\epsilon R\\(x,y)=(-1,0)+\gamma(1,\sqrt{3}), \gamma\epsilon R$

Ahora los arcos adosados a cada segmento. Supongamos los 3 del mismo radio, en la imagen están en naranja. Si nos fijamos en los de los segmentos oblícuos, en el punto donde cruzan a la horizontal son tangentes a los verdes. Lo que indica que sus centros están sobre el eje x. En la imagen hay dos líneas auxiliares en rosa y trazo más fino, son los radios de esos arcos que pasan respectivamente por los puntos $(2,-\sqrt{3})$ y $(-2,-\sqrt{3})$. Entre estas líneas, los segmentos celestes y el eje x se forman triángulos rectángulos donde se cumple que el ángulo $\alpha$ es:

$\alpha=90\°-60\°=30\°\\sen(\alpha)=\frac{2}{r_2} \\r_2=\frac{2}{sen(\alpha)}=\frac{2}{0,5}=4$

Con lo que los arcos naranjas tienen radio 4, por ende los que pasan por (-1,0) y (1,0) tienen sus centros respectivamente en (-5,0) y (5,0).

Vamos al tercer arco naranja que está adosado al segmento horizontal, como la figura es simétrica su centro está sobre el eje y, y su radio es 4, para que pase por (1,0) debo cumplir:

$1^2+(0-x_0)^2=16\\x_0=\sqrt{15}$

con lo que el centro de este último es $(0,\sqrt{15})$.

Para dibujar los arcos naranjas, pongo primero la pua del compás en (-5,0), la mina en (-1,0) y trazo el arco hasta el otro extremo del segmento oblícuo. Lo mismo hago poniendo la púa en (5,0) y la mina en (1,0). Para dibujar el tercero, pongo la púa en $(0,\sqrt{15})$, y luego trazo el arco entre los dos extremos del segmento horizontal. La raíz cuadrada de 15 es 3,9 aproximadamente.

Las ecuaciones que describen los arcos naranjas quedan entonces:

$(x-5)^2+y^2=16\\(x+5)^2+y^2=16\\x^2+(y-\sqrt{15})^2=16$

Y resumiendo, para describir analíticamente la figura y reconstruirla con software, representamos estas curvas cada una en los tramos indicados, totalizando tres rectas y cinco circunferencias:

• $y=0$ en $-1\leq x\leq 1$
• $(x,y)=(1,0)+\lambda(1,-\sqrt{3}), \lambda\epsilon R$ entre $(1,0)$ y $(2,-\sqrt{3})$
• $(x,y)=(-1,0)+\lambda(1,\sqrt{3}), \lambra\epsilon R$ entre (-1,0) y $(-2,-\sqrt{3})$
• $(x-1)^2+y^2=4$ entre (-1,0) y $(2,-\sqrt{3})$
• $(x+1)^2+y^2=4$ entre (1,0) y $(-2,-\sqrt{3})$
• $(x-5)^2+y^2=16$ entre (1,0) y $(2,-\sqrt{3})$
• $(x+5)^2+y^2=16$ entre (-1,0) y $(-2,-\sqrt{3})$
• $x^2+(y-\sqrt{15})^2=16$ entre (-1,0) y (1,0)