Question

Un disco solido uniforme de 3.00kg de masa y 0.200 mts de radio da vueltas en torno a un eje fijo perpendicular a su cara con frecuencia angular de 6.00rad/seg.
Calcule la cantidad de movimiento angular del disco cuando el eje de rotación.
a) Pasa a través de su centro de masa.
b) Pasa a través de un punto a la mitad entre el centro y el borde.

Answer 1

Para calcular la cantidad de movimiento angular del disco hay que tener presente la fórmula general del momento angular:

$L=Iw$

Y la fórmula general del momento de inercia para distribuciones continuas de masa:

$I=\int\limits^{}_{V} {r^2} \, dm$

Y el centro de masas:

$r_{cm}=\int\limits^{}_V {\frac{rdm}{M}} =$

a) El centro de masas de un disco de densidad homogénea está en el centro, por ende por aquí pasa el eje de rotación. El momento de inercia alrededor de ese eje es:

$I=\int\limits^{}_V {x^2} \, dm$

Como diferencial de masa tomamos un anillo concéntrico al centro, de espesor infinitesimal de radio x<R, y cuya masa es:

$dm=\frac{M}{\pi R^2}.2\pi  xdx=\frac{2M}{R^2}xdx$

La integral queda:

$I=\int\limits^{R}_0 {\frac{2M}{R^2}x^3} \, dx=\frac{2MR^4}{4R^2}}=\frac{MR^2}{2}}$

Y el momento angular queda:

$L=\frac{MR^2}{2}.w=\frac{3kg.(0,2m)^2}{2}.6s^{-1}=  0,36\frac{kgm^2}{s}$

b) Ahora si rota en torno a un eje que pasa por un punto a mitad entre el centro y el borde, cambia el momento de inercia. Lo podemos calcular aplicando el Teorema de Steiner, el cual prescribe que dado un eje que pasa por el centro de masa de un sólido de masa M y otro eje que es paralelo al primero tengo:

$I_P=I_G+Mr^2$

Donde $I_G$ es el momento de inercia para el eje que pasa por el centro de masas, $I_P$ el momento de inercia para el eje fuera del centro de masas y r la distancia entre ambos.

Nos queda:

$L=I_Pw=(I_G+Mr^2)w$

Pero r es:

$r=\frac{R}{2}$

Queda:

$L=(\frac{MR^2}{2}+M(\frac{R}{2})^2 ).w=(\frac{MR^2}{2}+\frac{MR^2}{4} ).w=\frac{3}{4}MR^2w\\ L=\frac{3}{4}.3kg.(0,2m)^2.6s^{-1}= 0,54\frac{kgm^2}{s}$