Dadas las rectas x = 6 y y = -3, encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 4 cm
y que sea tangente a ambas rectas Propón una estrategia de solución y desarróllala así
como en los casos descritos en esta secuencia didáctica.
Respuestas
Las ecuaciones de las circunferencias de radio 4 cm y son tangentes a las rectas x = 6 y y = -3 son:
(x - 2)² + (y - 1)² = 16
(x - 2)² + (y + 7)² = 16
(x - 10)² + (y - 1)² = 16
(x - 10)² + (y + 7)² = 16
Explicación paso a paso:
La recta x = 6 es un recta vertical que corta al eje x en el punto 6.
La recta y = -3 es un recta horizontal que corta al eje y en el punto -3.
Para hallar la ecuación de la circunferencia de radio 4 cm y que es tangente a ambas rectas, vamos a ubicar una recta paralela a x = 6 que diste 4 cm de ella y una recta paralela a y = -3 que diste 4 cm de esta última.
Estas rectas constituyen los ejes de simetría de la circunferencia cuyo centro es el punto de corte de estos eje de simetría. La gráfica de esta circunferencia será tangente a x = 6 y a y = -3.
Ahora bien, nos encontramos que, en cada caso, hay dos rectas que cumplen la condición dada:
Paralela a x = 6 a 4 cm de ella: x = 2 ∧ x = 10
Paralela a y = -3 a 4 cm de ella: y = 1 ∧ y = -7
Si combinamos obtenemos 4 puntos intersección:
(2, 1) (2, -7) (10, 1) (10, -7)
Por tanto, tenemos 4 circunferencias que cumplen la condición de tangencia dada. Para hallar sus ecuaciones usaremos la ecuación canónica de la circunferencia:
(x - h)² + (y - k)² = r²
donde
(h, k): centro de la circunferencia
r: radio de la circunferencia
Vamos a hallar la ecuación de cada circunferencia para cada centro:
(2, 1) (x - 2)² + (y - 1)² = 16
(2, -7) (x - 2)² + (y + 7)² = 16
(10, 1) (x - 10)² + (y - 1)² = 16
(10, -7) (x - 10)² + (y + 7)² = 16