Question

en una progresión aritmética sabemos que el primer término es igual a 3 y el décimo término es igual a 43. encontrar el término general y calcula la suma de los 12 primeros

Answer 1

El término general de la progresión aritmética es $\frac{40}{9}*n -\frac{13}{9}$

La suma de los primeros 12 términos es $\frac{988}{3}$

Explicación:

El término general de una progresión aritmética es una ecuación que nos permite calcular cualquier término de la progresión, se tiene la siguiente ecuación para calcular el enésimo término, de ella se parte para conseguir el término general:

an = a1 + (n-1) d

Donde

a1 : representa el primer término de la progresión

d : la distancia o diferencia entre un término y otro

En este caso nos dicen que el término a1 = 3, y a10= 43.

Se despeja d, de la ecuación:

$d = \frac{an - a1 }{n-1}$

Sustituyendo en la ecuación

$d = \frac{43 - 3}{10-1}$

$d = \frac{40}{9}$

Se sustituyen los valores de a1 y d en la ecuación del término general an.

$an = 3 + (n-1)*\frac{40}{9}$

Se resuelve el paréntesis

$an = 3 +n*\frac{40}{9}-\frac{40}{9}$

Se agrupan los términos

$an = \frac{40}{9}*n -\frac{13}{9}$

El término general será $an = \frac{40}{9}*n -\frac{13}{9}$

Con esta ecuación se calcula el valor del término 12

$a12 = \frac{40}{9}*12 -\frac{13}{9}$

$a12 = \frac{467}{9}$

Para la suma de términos, se tiene la siguiente ecuación:

$S = \frac{(a1+an)*n}{2}$

Ya que se poseen todos los valores, recordar que an es igual a a12, ya que se  quiere la suma de los primeros 12 términos:

$S = \frac{(3+\frac{467}{9})*12}{2}$

$S = \frac{988}{3}$

La suma de los 12 primeros términos es $\frac{988}{3}$