• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: terkennyoyx45j
  • hace 8 años

BC=12 BD=8 Exprese AC en la forma a raiz de b

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Respuesta dada por: LeonardoDY
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Observando la figura se puede ver a priori que por condición general la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180° Nos queda que:

C + B = 90°.

Como D es de 90° los dos triángulos internos son igualmente rectángulos. Ahora como en triángulo ACD tiene el ángulo C, y un ángulo que vamos a llamar alpha que es el que  forman los segmentos CA y AD:

C+\alpha =90°\\\alpha =B

Demostramos que alpha y B son congruentes. Hacemos lo propio con el otro triángulo, llamamos beta al ángulo que forman AD y AB:

B+\beta =90°\\\beta =C

Los dos triángulos interiores son semejantes (es decir los ángulos internos homólogos de cada uno son congruentes) entre sí y al que los contiene. Esto significa que los lados homólogos de cada uno son proporcionales, tenemos que:

\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}

Esto aplicando condición de semejanza al triángulo menor que es el que contiene a AC. Aplico la proporcionalidad:

\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}\\\frac{12}{AC}=\frac{AC}{4}\\AC^{2} = 4.12\\ AC=\sqrt{48}

Lo que hacemos ahora es una extracción de factores fuera del radical, para lo cual factorizamos el radical:

AC = \sqrt{48} = \sqrt{2.2.2.2.3}  = \sqrt{3.2^{4} }  = \sqrt{3} \sqrt{2^{4} } =2^{2} \sqrt{3}

Nos queda que es:

AC = 4\sqrt{3}

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