Question

BC=12 BD=8 Exprese AC en la forma a raiz de b

Answer 1

Observando la figura se puede ver a priori que por condición general la suma de los ángulos internos de un triángulo es siempre 180° Nos queda que:

C + B = 90°.

Como D es de 90° los dos triángulos internos son igualmente rectángulos. Ahora como en triángulo ACD tiene el ángulo C, y un ángulo que vamos a llamar alpha que es el que  forman los segmentos CA y AD:

$C+\alpha =90°\\\alpha =B$

Demostramos que alpha y B son congruentes. Hacemos lo propio con el otro triángulo, llamamos beta al ángulo que forman AD y AB:

$B+\beta =90°\\\beta =C$

Los dos triángulos interiores son semejantes (es decir los ángulos internos homólogos de cada uno son congruentes) entre sí y al que los contiene. Esto significa que los lados homólogos de cada uno son proporcionales, tenemos que:

$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}$

Esto aplicando condición de semejanza al triángulo menor que es el que contiene a AC. Aplico la proporcionalidad:

$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{CD}\\\frac{12}{AC}=\frac{AC}{4}\\AC^{2} = 4.12\\ AC=\sqrt{48}$

Lo que hacemos ahora es una extracción de factores fuera del radical, para lo cual factorizamos el radical:

$AC = \sqrt{48} = \sqrt{2.2.2.2.3}  = \sqrt{3.2^{4} }  = \sqrt{3} \sqrt{2^{4} } =2^{2} \sqrt{3}$

Nos queda que es:

$AC = 4\sqrt{3}$