Question

Determina los elementos: vértices, focos, semieje mayor, semieje menor, eje focal, lado recto, extremos del eje menor y excentricidad de la elipse 9x2+5y2-45=0

Answer 1

Ecuación Canónica de la Elipse:

Eje focal vertical: $\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$

Centro (C): (h, k)  

a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje focal

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

c = distancia del centro (C) a los focos (F) sobre el eje focal

Relación entre distancias: a² = b² + c²

Vértices:  (h, k  -  a)  y  (h, k  +  a)

Focos:  (h, k  -  c)  y  (h, k  +  c)

Extremos del eje menor:  (h  -  b, k)  y  (h  +  b, k)

semieje mayor  =  2a

semieje menor  =  2b

excentricidad = e = c/a

Lado Recto  =  LR  =  2b2/a

Explicación paso a paso:

En primer lugar la escribimos en su forma canónica:

$9x^{2} +5y^{2} -45=0 \quad \Rightarrow \quad 9x^{2} +5y^{2} =45 \quad \Rightarrow \quad$

$\frac{9x^{2}}{45} +\frac{5y^{2}}{45}=\frac{45}{45}\quad \Rightarrow \quad \bold{\frac{x^{2}}{5} +\frac{y^{2}}{9}=1}$

Esta es la ecuación de una elipse de centro en el origen y eje focal el eje de las y.

Definimos sus elementos:

C: (h, k)  =  (0, 0)

a²  =  9        ⇒        a  =  3

b²  =  5        ⇒        b  =  √5

a²  =  b²  +  c²        ⇒        9  =  5  +  c²        ⇒        

c²  =  4        ⇒        c  =  2

Vértices:

(h, k  -  a)  =  (0, 0  -  3)  =  (0, -3)

(h, k  +  a)  =  (0, 0  +  3)  =  (0, 3)

Focos:

(h, k  -  c)  =  (0, 0  -  2)  =  (0, -2)

(h, k  +  c)  =  (0, 0  +  2)  =  (0, 2)

Extremos del eje menor:

(h  -  b, k)  =  (0  -  √5, 0)  =  (-√5, 0)

(h  +  b, k)  =  (0  +  √5, 0)  =  (√5, 0)

semieje mayor  =  2a  =  2(3)  =  6

semieje menor  =  2b  =  2√5

excentricidad = e = c/a  =  2/3

Lado Recto  =  LR  =  2b²/a  =  2(5)/3  =  10/3