Question

Encuentre una ecuación para la recta tangente a la curva en el punto definido por el valor dado de t.
x = 2 cost, y = 2 sen t, t = π 4

Answer 1

La ecuación de la recta tangente es L(x) = 2√2 - x

Para poder determinar la ecuación de la recta tangente a una función en un punto (a,f(a)), simplemente debemos aplicar la siguiente función

L(x) = f'(a)(x-a) + f(a)

Ahora, como la función está expresada de forma paramétrica, vemos que a = x(t), f'(a) = y'(t)/x'(t) y f(a) = y(t) donde  t = π / 4

Por lo que simplemente sustituimos todos los valores

a = 2cos(π / 4) = 2√2/2 = √2

f(a) = 2sin(π / 4) = 2√2/2 = √2

f'(a) = -2sin(π / 4)/2cos(π / 4) = - √2/√2 = -1

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en (√2, √2) es

L(x) =  -1*(x- √2) + √2 = -x + √2 + √2 = 2√2 - x