Question

El voltaje de descarga de un capacitor viene dado por la siguiente expresión v(t)=24e^(-0.2t) donde v representa el voltaje del capacitor en Voltios, y t representa el tiempo en segundos. a) Determine el voltaje del capacitor al momento de iniciar la descarga. b) Calcule el voltaje del capacitor a los 10 segundos iniciar la descarga. c) ¿Qué ocurre con el voltaje del capacitor cuando el tiempo crece indefinidamente? 2.b. Continuidad En un circuito eléctrico es necesario garantizar que la corriente sea continua en todo momento. La corriente del circuito está dada por la siguiente función: i(t)={■(a+1/t&si 03)┤ Calcule los valores de a y b que hacen que la corriente sea continua

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Answer 1

Aquí planteamos la ecuación de descarga del capacitor que es:

$v(t)=24Ve^{-0,2t}$

a) en el momento de iniciar la descarga estamos en el tiempo 0, hallamos el valor para t=0.

$v(0)=24Ve^{-0,2.0}=24.1=24V$

b) A los 10 segundos hallamos el valor para t=10:

$v(0)=24Ve^{-0,2.10}=24.e^{-2}=24V.0,1353=3,25V$

c) Cuando el tiempo crece indefinidamente la  tensión tiende al límite en el infinito:

$\lim_{t \to \infty} 24Ve^{-0,2t}= 24V\lim_{t \to \infty}e^{-0,2t} = 24V.0=0V$

2b) Las ramas de la función son las siguientes:

$a+\frac{1}{t} , 0<t\leq 1\\b-\frac{7}{2}a, 1<t\leq 3\\-t^2+2b, t>3$

Tenemos que analizar los puntos de cambios de ramas donde la función tiene que estar definida, y el límite tiene que existir, para esto último los límites laterales tienen que ser iguales.

$\lim_{t \to 1^{-}} f(x) = \lim_{n \to 1^{+}} f(x) \\ \lim_{t \to 3^{-}} f(x) = \lim_{t \to 3^{+}}  f(x)$

Reemplazando por las ramas correspondientes:

$\lim_{t \to 1^{-}} a+\frac{1}{t}= \lim_{n \to 1^{+}} b-\frac{7}{2}a \\ \lim_{t \to 3^{-}} b-\frac{7}{2}a = \lim_{t \to 3^{+}}  -t^2+2b$

La otra condición de continuidad es:

$\lim_{t \to a} f(t)=f(a)$

Reemplazo:

$a+1=b-\frac{7}{2}a\\b-\frac{7}{2}a=-9+2b\\\\a(1+\frac{7}{2})-b=-1\\-b-\frac{7}{2}a=-9\\\\\frac{9}{2}a-b=-1\\\frac{7}{2}a+b=9$

Multiplico las dos ecuaciones por 2 para eliminar fracciones:

$9a-2b=-2\\7a+2b=18$

Resuelvo el sistema de ecuaciones por reducción:

$Ec_{1}+Ec_{2}\\9a+7a-2b+2b=-2+18\\16a=16\\a=1$

$7Ec_{1}-9Ec_{2}\\63a-14b-63a-18b=-14-162\\-32b=-176\\b=\frac{11}{2}$