Question

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

Ejercicio a.

Answer 1

El desarrollo del ejercicio utilizando el método de integración adecuado (sustitución trigonométrica) da como resultado $=-\frac{\cot \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}-\left(-\ln \left|\tan \left(x\right)+\sec \left(x\right)\right|\right) + c$

Explicación paso a paso:

Dada la integral

$\int {\frac{\sqrt{x^{2}+1} }{x^{2} } } \, dx$

Sabemos por método de sustitución trigonométrica que:

$\sqrt{u^2+a^2}$

$u=a\cdot tan(\theta)$

$du=a\cdot sec^2(\theta)d\theta$

Por lo tanto,

$\sqrt{x^2+1^2} = \sqrt{x^2+1}$

$x=tan(\theta)$

$dx=sec^2(\theta)d\theta$

Sustituyendo en la integral tenemos:

$\int {\frac{\sqrt{tan^{2}(\theta)+1} }{tan^{2}(\theta) } } \, sec^2(\theta)d\theta$

 

Por propiedades trigonométricas sabemos que:

$tan^{2}(\theta)+1 = sec^2(\theta)$

Sustituyendo:

$=\int {\frac{\sqrt{sec^2(\theta)} }{tan^{2}(\theta) } } \, sec^2(\theta)d\theta$

Simplificando la raíz cuadrada:

$=\int {\frac{sec(\theta)}{tan^{2}(\theta) } } \, sec^2(\theta)d\theta$

$=\int {\frac{sec^3(\theta)}{tan^{2}(\theta) } } \, d\theta$

Reescribimos la expresión en función de senos y cosenos:

$=\int \frac{\left(\frac{1}{\cos \left(\theta\right)}\right)^3}{\left(\frac{\sin \left(\theta\right)}{\cos \left(\theta\right)}\right)^2}d\theta$

Nuevamente simplificamos la expresión:

$=\int \frac{1}{\sin ^2\left(\theta\right)\cos \left(\theta\right)}d\theta$

Aplicamos integración por partes:

$u=\frac{1}{\cos \left(\theta\right)}\\v'=\csc ^2\left(\theta\right)$

$=-\frac{\cot \left(\theta\right)}{\cos \left(\theta\right)}-\int \:-\sec \left(\theta\right)\tan \left(\theta\right)\cot \left(\theta\right)d\theta$

Luego,

$=-\frac{\cot \left(\theta\right)}{\cos \left(\theta\right)}-\left(-\ln \left|\tan \left(\theta\right)+\sec \left(\theta\right)\right|\right) + c$

con:

$x=tan(\theta)$

$\theta=arctan(x)$