Question

La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una P.J. No. 0428 del 28 de Enero 1982 - MEN I VIGILADA MINEDUCACIÓN distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados. Con estos datos:
a. Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.
b. Encuentre la probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio.
c. Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio.

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

a. Probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio: 10,44%.

b. Probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio: 0,005%

c. Probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio: 78,52%.

◘Desarrollo:

Para solucionar este problema aplicamos la fórmula de Distribución de Poisson:

X≈Poiss(λ=x)

$P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}*\lambda^{x}}{x!}$

Donde:

Media= λ

Variable= x

a. Probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.

Datos

λ=0,1 * 100= 10

X≈Poiss(λ=10)

Dado que λ≥10 aproximamos la Distribución Poisson a la Normal:

$P(X=x)=P(\frac{x-0,5-\mu}{\delta})\leq Z\leq(\frac{x+0,5-\mu}{\delta})$

λ= 10

σ= √λ= √10 = 3,16

Sustituimos los valores en la ecuación:

$P(X=12)=P(\frac{12-0,5-10}{3,16})\leq Z\leq(\frac{12+0,5-10}{3,16})$

$P(X=12)=P(0,47)\leq Z\leq(0,79)}$

$P(X=12)=P(Z\leq 0,79)-P(Z\leq 0,47)$

$P(X=12)= 0,7852-0,6808$

$P(X=12)= 0,1044$

b. Probabilidad de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio.

$P(X=0)=\frac{e^{-10}*10^{0}}{0!}$

$P(X=0)=0,00005$

c. Probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio:

$P(X\leq x)=P(\frac{x+0,5-\mu}{\delta})$

Sustituyendo tenemos:

$P(X\leq 12)=P(Z\leq \frac{12+0,5-10}{3,16})$

$P(X\leq 12)=P(Z\leq 0,79)$

$P(X\leq 12)=0,7852$