Question

Una caja con tapa y base cuadrada debe tener un volumen de 150 cm 3. El precio del material utilizado para la base es de 6 euros por centímetro cuadrado, y el utilizado para las caras laterales y la tapa es de 2 euros por centímetro cuadrado. Indique la altura que le corresponde a la caja que resulte lo más económica posible.

Answer 1

La altura de la caja más económica posible es, aproximadamente, 8.43 cm.

Explicación paso a paso:  

La función objetivo es el costo de construcción de la caja basado en el área superficial de la misma. Si llamamos  h  la altura de la caja y  x  la longitud del lado de la base de la caja; la función objetivo viene dada por la suma del costo de los cuatro lados, la cara inferior cuadrada, a 6 euros por centímetro cuadrado, y la cara superior cuadrada, a 2 euros por centímetro cuadrado:  

$C=(2)x^{2}+(6)x^{2}+(2)(4)xh=8x^{2}+8xh$  

Lo conveniente es que el Costo esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:  

$V=x^{2}h=150\qquad \Rightarrow\qquad h=\frac{150}{x^{2}}$  

por tanto la función objetivo es  

$C=8x^{2}+8x[\frac{150}{x^{2}}]=8x^{2}+\frac{1200}{x}$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de  C.  

$C’=16x-\frac{1200}{x^{2}}$  

$C'=0 \quad \Rightarrow \quad 16x-\frac{1200}{x^{2}}=0\quad \Rightarrow$  

$16x^3-1200=0\quad \Rightarrow \quad \bold{x=\sqrt[3]{75}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$C''=16+\frac{2400}{x^{3}}$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$C''=16+\frac{2400}{[\sqrt[3]{75}]^{3}} >0\quad \Rightarrow \quad x=\sqrt[3]{75}$ es un mínimo de la función C.  

Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo de la altura  h:

$\bold{h=\frac{150}{x^{2}}\qquad \Rightarrow\qquad h=\frac{30}{\sqrt[3]{45}}}$  

La altura de la caja más económica posible es, aproximadamente, 8.43 cm.