Question

Sea p el perímetro de un triángulo rectángulo isósceles. Encuentre la fórmula de la función del área, en términos de p.



Preguntas relacionadas:



¿Cuál es la variable independiente de este modelo?
¿Cuál es la fórmula que propone para la solución del problema presentado?
¿Cuál es el área de un triángulo de perímetro 7 m?
Considere si para usted tiene sentido que dada el área de un triángulo se requiera hallar el perímetro.
¿Cuál sería el lado de un triángulo cuya área es 20 m2?
Explicite los procedimientos que utilizó para hallar la respuesta en cada caso

Answer 1

El modelo que representa el área en términos del perímetro p es:

$\bold{A=\frac{p^2}{2(2+\sqrt{2})^2}}$

Explicación paso a paso:

1.- Encuentre la fórmula de la función del área, en términos de p.

Si el triángulo es rectángulo e isósceles, significa que los catetos son de la misma longitud y la hipotenusa es la raiz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos:

Llamemos  x  a la longitud de cada cateto, entonces por el teorema de Pitágoras:

x²  +  x²  =  (hipotenusa)²    ⇒    hipotenusa  =  √(2x²)  =  √2 x

Calculemos el área y el perímetro de este triángulo:

Área  =  A  =  (x)(x)/2  =  x²/2

Perímetro  =  p  =  x  +  x  +  √2 x  =  (2  +  √2)x

Ya que se pide el área en términos de p:

$x=\frac{p}{2+\sqrt{2} }$

$A=\frac{x^{2}}{2}=\frac{[\frac{p}{2+\sqrt{2} }]^2}{2}=\frac{p^2}{2(2+\sqrt{2})^2}$

2.- ¿Cuál es la variable independiente de este modelo?

La variable independiente del modelo que representa el área en términos del perímetro p, es p.

3.- ¿Cuál es la fórmula que propone para la solución del problema presentado?

El modelo que representa el área en términos del perímetro p es:

$\bold{A=\frac{p^2}{2(2+\sqrt{2})^2}}$

4.- ¿Cuál es el área de un triángulo de perímetro 7 m?

$A=\frac{(7)^2}{2(2+\sqrt{2})^2}=\frac{49}{4(3+2\sqrt{2})}\approx2.10\quad m^2$

El área de un triángulo de perímetro 7 m es aproximadamente 2.10 m²

5.- Considere si para usted tiene sentido que dada el área de un triángulo se requiera hallar el perímetro.

Si tiene sentido, ya que es posible que dos o mas triángulos tengan distintas longitudes de sus lados y, por ende, distinto perímetro; pero la misma área.

6.- ¿Cuál sería el lado de un triángulo cuya área es 20 m²?

A  =  x²/2        ⇒        x  =  √(2A)

Si  A  =  20        ⇒       x  =  √(2*20)  =  2√10  m