Question

Un dron que es utilizado para realizar labores agrícolas en una empresa del sector, presenta la información de su posición en coordenadas polares, es decir, de la forma (m, α) donde m representa la distancia en metros medida desde el punto de partida y α representa el ángulo (expresado en grados); si las informaciones de las posiciones son:
● Posición 0 (P0); 0 m, 0° (Posición inicial).
● Posición 1 (P1); 51 m, 20°.
● Posición 2 (P2); 67 m, 45°.
● Posición 3 (P3); 57 m, 30°.
● Posición 4 (P4); 40 m, 107° (Posición final).
Realice las siguientes actividades, teniendo en cuenta que el dron partió de la posición inicial (P0)
A. Encuentre las coordenadas rectangulares “x” e “y” para cada vector posición expresado en notación de vectores unitarios.
B. Determine cada uno de los desplazamientos, es decir, determine Δr1=P1-P0; Δr2=P2-P1; Δr3=P3-P2 y Δr4=P4-P3. NOTA: exprese cada desplazamiento en notación de vectores unitarios.
C. Determine las componentes rectangulares del desplazamiento final. NOTA: recuerde que el desplazamiento total es equivalente a la suma vectorial entre todos los desplazamientos realizados. Exprese el desplazamiento total en notación de vectores unitarios.
D. Determine la magnitud y sentido del vector desplazamiento total.
Grafique los desplazamientos realizados en un mismo plano cartesiano de manera consecutiva y el desplazamiento total (se sugiere utilizar Geogebra u otro Software similar.)

Answer 1

Luego de realizar varios desplazamientos en el área agrícola, el dron se encuentra en la siguiente posición (-11,7i+38.3j)m  

El problema nos proporciona la magnitud y la dirección de cada posición, por lo tanto para resolver el ejercicio se debe considerar la siguiente formula:  

Sea el vector A que tiene dos componentes mutuamente perpendiculares: Ai que es su proyección sobre el eje 'x' y Aj que es su proyección sobre el eje 'y'.  

                       Ai=ΙAΙcos(θ)     Aj=ΙAΙsen(θ)  

A. Las coordenadas rectangulares “x” e “y” para cada vector posición expresado en notación de vectores unitarios.  

$P_{1} =R_{1x}+ R_{1y}\\R_{1x}=R_{1}cos(\alpha ) \\R_{1x}=51mcos(20)\\R_{1x}=47,9m\\\\R_{1y}=R_{1}sen(\alpha ) \\R_{1y}=51msen(20)\\R_{1y}=17,4m$

$P_{2} =R_{2x}+ R_{2y}\\R_{2x}=R_{2}cos(\alpha ) \\R_{2x}=67mcos(45)\\R_{2x}=47,4m\\\\R_{2y}=R_{2}sen(\alpha) \\R_{2y}=47,4msen(45)\\R_{2y}=47,4m$

$P_{3} =R_{3x}+ R_{3y}\\R_{3x}=R_{3}cos(\alpha ) \\R_{3x}=57mcos(30)\\R_{3x}=49,4m\\\\R_{3y}=R_{3}sen(\alpha ) \\R_{3y}=57msen(30)\\R_{3y}=28,5m$

$P_{4} =R_{4x}+ R_{4y}\\R_{4x}=R_{4}cos(\alpha ) \\R_{4x}=40mcos(107)\\R_{4x}=-11,7m\\\\R_{4y}=R_{4}sen(\alpha ) \\R_{4y}=53msen(105)\\R_{4y}=51,2m$  

B. Determine cada uno de los desplazamientos, es decir, determine Δr1=P1-P0; Δr2=P2-P1; Δr3=P3-P2 y Δr4=P4-P3.  

Δr1=P1-P0=(47,9i+17,4j)m+(0i+0j)m=(47,9i+17,4j)m  

Δr2=P2-P1=(47,4i+47,4j)m-(47,9i+17,4j)m=(-0,5i+30j)m  

Δr3=P3-P2=(49,4i+28,5j)m-(47,4i+47,4j)m=(2i-18,9j)m  

Δr4=P4-P3=(-11,7i+38,3j)m-(49,4i+28,5j)m=(-61,1i+9,8j)m  

C. Determine las componentes rectangulares del desplazamiento final.  

La resultante consiste en sumar cada vector  

r=r1+r2+r3+r4  

r=(47,9i+17,4j)m+(-0,5i+30j)m+(2i-18,9j)m+(-61,1i+9,8j)m=(-11,7i+38,3j)m  

D. Determine la magnitud y sentido del vector desplazamiento total.  

Magnitud  

ΙrΙ= $\sqrt{(-11,7)^2+(38,3)^2} =40 m$

Sentido  

tgθ=38,3/-11,7=-3,3

θ =tg^(-1)(-3,6)=-73 °  

θ=-73°  

E. Grafique los desplazamientos realizados en un mismo plano  

Ver imagen adjunta (cada cuadro equivale a 5m y cada vector esta debidamente identificado) , el vector resultante es de color rojo.