Question

Una maquina produce varillas metálicas usadas en el sistema de suspensión de un automóvil. se selecciona una preliminar muestra aleatoria de 10 varillas y se mide el diámetro. los datos resultantes (en centímetros) se encuentran a continuación: - 1,014 - 0,962 - 1,019 - 0,958 - 1,009 - 1,058 - 1,02 - 1,041 - 1,024 - 1,02 teniendo en cuenta las muestras preliminares, determine el tamaño ideal de muestra para hacer una estimación del diámetro medio de las varillas (considere un nivel de confianza del 95% y un error permisible máximo del 5%).

Answer 1

El tamaño ideal de la muestra para hacer una estimación del diámetro medio de las varillas, considerando un nivel de confianza del 95% y un error permisible máximo del 5% es de 998,28 o 998.

◘Desarrollo:

Ya que nos proporcionan los valores que arrojó la selección preliminar de la muestra aleatoria, podemos calcular la desviación de dichos datos. Primero debemos ordenarlos y hallar la media:

Xi           fi      Xi*fi

0,958    1     0,958

0,962    1     0,962

1,009     1     1,009

1,014      1     1,014

1,019      1     1,019

1,02       2     2,04

1,024     1     1,024

1,041      1     1,041

1,058     1     1,058  

n= 10           10,125

Calculamos el promedio:

$\overline{x}=\frac{\sum Xi*fi}{n}$

$\overline{x}=\frac{10,125}{10}$

$\overline{x}=1,0125$

Calculamos la desviación estándar:

$S=\sqrt{\frac{\sum\vmatrix Xi-\overline{X} \vmatrix ^{2}*fi}{n-1}}$

$S=\sqrt{\frac{84,03+83,96+83,10+83,01+82,92+165,80+82,83+82,52+82,21}{10-1}}$

$S=\sqrt{\frac{830,39}{9}}$

$S=\sqrt{92,27}$

$S=9,61$

Hallamos la varianza:

S^2= 9,61^2= 92,35

Tamaño de la muestra:

Población: N= 100 (supongamos una población pequeña)

Constante con un nivel de confianza del 95%: (Tabla distribución Normal) $Z^{2}\alpha$= 1,96^{2}= 3,84

Varianza: σ^2= 92,35

d= precisión o error (en este caso es de 5%=0,05)

Aplicamos la fórmula siguiente para conocer el tamaño de la muestra:

$n= \frac{N*Z^{2}_{\alpha}*\sigma^{2}}{(N-1)*e^{2}*Z^{2}_{\alpha}*\sigma^{2}}$

Sustituimos:

$n= \frac{100*3,84*92,35}{99*0,05^{2}+3,84*92,35}$

$n= \frac{35462,4}{354,8715}$

$n= 998,28$