Question

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Answer 1

$\log_3 n=\log_6m=\log_{12}(m+n)=k\text{ entonces por de} \text{finici\'on del logaritmo}\\\text{tenemos:}\\\\\log_3 n=k\to n=3^k~\cdots\cdots\cdots(1)\\\log_6m=k\to m=6^k~\cdots\cdots\cdots(2)\\\log_{12}(m+n)=k\to m+n=12^k~\cdots\cdots\cdots(3)\\ \\\text{Sumamos (1)+(2)=(3):}\\\\3^k+6^k=12^k\\ \\3^k+(2\times 3)^k=(3\times4)^k\\\text{Dividimos todo entre }3^k:\\\\1+2^k=4^k\\1+2^k=(2^2)^k\\1+2^k=(2^k)^2\\(2^k)^2-2^{k}-1=0\\\text{Por Baskara:}\\ \\2^k=\dfrac{1\pm\sqrt{1^2-4(1)(-1)}}{2}$

$2^k=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\ \\\text{Si k\in\mathbb{R} entonces }2^k>0 \text{ por lo tanto: }\\\\2^k=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \\\text{Luego: }\\ \\\dfrac{m}{n}=\dfrac{6^k}{3^k}=2^k\\ \\\boxed{\dfrac{m}{n}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$