Question

Se simula el movimiento periódico de dos cuerpos por medio de las funciones trigonométricas y=2 sen^2⁡x y y=3 cos⁡θ, donde y representa la posición del cuerpo respecto a un ángulo de giro θ. ¿En qué ángulo de giro los dos cuerpos tendrán la misma posición?

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Answer 1

Para resolver este ejercicio empezamos igualando las dos funciones porque nos solicitan que los dos cuerpos tengan igual posición dada por y:

$2sin^{2}(x) = 3cos(x)$

Aplicamos la identidad pitagórica al primer miembro:

$2(1 - cos^{2}(x) ) = 3cos(x)$

Hacemos cambio de variable cos(x) = a:

$2 - 2a^{2} = 3a\\ 2a^{2} + 3a-2=0$

Nos queda resolver la ecuación cuadrática:

$a=\frac{-3 +/- \sqrt{3^{2}-4.2.(-2) } }{2.2} = \frac{-3 +/-\sqrt{16+9} }{4} \\ a=\frac{-3+/- 5}{4} \\a=-2\\a=\frac{1}{2}$

No hay que olvidarnos que a es el coseno de un ángulo por lo que uno de los valores de a que es el que da -2 no es válido por estar fuera del rango de la función coseno. Hallamos el ángulo:

$x = arccos(a ) = arccos(\frac{1}{2} ) = 60°$

Respuesta: En el ángulo de giro de 60° los dos cuerpos tienen la misma posición