Question

demostrar por definicion       lim x² = 4

                                                   x -> 2

Answer 1

mira en este link tenes paso a paso como podes aplicar para poder demostrar la definicion de limite

http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html

 

inclusive tenes un ejemplo para guiarte, espero que te sirva, salu2!!!!

 

 

Answer 2

por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta  que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta

 

entonces en nuestra caso

 

vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que

si  0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon 

 

Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión

|(x+2)(x-2)|<Epsilon

 

|(x+2)||(x-2)|<Epsilon

 

bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.

bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1

bien

cuando el delta es menor a 1 entonces  |(x-2)|<1  y entonces 1<x<3   y entonces a lo sumo

|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5

bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.

bien

entonces

|(x+2)||(x-2)|<

por definición el limite de f(x) cuando x tiende a A es L si para cada Epsilon, existe un Delta  que cumple que |f(x)-L|<Epsilon cuando 0<|x-a|<Delta

 

entonces en nuestra caso

 

vamos a demostrar que para cada Epsilo existe un espectivo Delta tal que

si  0<|x-2|<Delta entonces |x^2 - 4|<Epsilon 

 

Primero vamos a buscar un delta apropiado para ello trabjamos con la conclusión

|(x+2)(x-2)|<Epsilon

 

|(x+2)||(x-2)|<Epsilon

 

bien aquí el lío es que aunque tenemos |(x-2)| lo tenemos multiplicado por un valor |(x+2)| variable que no sabemos si está acotado o no.

bien pero hagamos lo siguiente analicemos que pasa a |(x+2)| cuando delta <1

bien

cuando el delta es menor a 1 entonces  |(x-2)|<1  y entonces 1<x<3   y entonces a lo sumo

|(x+2)|<3+2 o sea |(x+2)|<5

bien entonces si el delta es menor que 1 entonces con certeza |(x+2)| sera menor que 5.

bien

entonces

|(x+2)||(x-2)|<5|(x-2)|

y como suponemos |(x-2)|<delta entonces

|(x+2)||(x-2)|<5 delta 

entonces

5 delta<Epsilon

Delta <Epsilon/5  pero debe ser también menor o igual a 1

entonces escojamos delta como el minimo entre 1 y Epsilon/5

 

bien demostremos ahora sí>

dado que Epsilon>0 y sea delta el minimo entre 1 y Epsilon<5

si

0<|(x-2)|<Delta  entonces

|x^2 - 4|=|x+2||x-2|<5|x-2|    

pues su delta es menor que 1 ya lo demostramos y delta fue definido precissmente como el minimo entre 1 y epsilon/5 o sea que sera a lo sumo 1

y 5|x-2| <5*Epsilon/5  

porque si delta fuera Epsilon/5 eso se deduce de nuestra premisa |x-2| <delta=Epsilon/5

y si delta fuera 1 entonces eso significa que Epsilon/5 resultó mayor que 1 y |x-2|<1<Epsilon/5

así que en cualquier caso se cumple 5|x-2| <5*Epsilon/5  

o sea

5|x-2| <Epsilon

y puesto que 

|x+2||x-2|<5|x-2|

entonces

|x+2||x-2|<Epsilon

o  sea

|x^2 - 4|<Epsilon

 

con lo que queda demostrado que el límite de x^2 cuando x tiende a 2 es 4