Question

. En una fábrica de empaques se determinó que
una caja abierta rectangular se construye con
una pieza de cartón de 20 pulgadas por 32
pulgadas, cortando cuadrados con la misma
longitud de lado de las esquinas y doblando
los lados laterales hacia arriba. Encontrar las
dimensiones de la caja que hacen que la caja
tenga volumen máximo.

Answer 1

Las dimensiones de la caja: 12 pulgadas de ancho, 24 pulgadas de largo y 4 pulgadas de altura

Explicación paso a paso:

Optimizacion:

x: lado que se va a cortar

a = (20-2x)

b= (32-2x)

Volumen de una caja:

V = a*b*x

V = (20-2x) (32-2x)x

V = 640x-40x²-64x²+4x³

V = 4x³-104x²+640x

Derivamos e igualamos a cero:

V`= 12x²-208x+640

0= 12x²-208x+640

Ecuación de segundo grado que resulta en:

x1 = 4 pulgadas

x2 = 40/3 pulgadas

Para que la caja tenga mayor volumen su altura debe ser menor es decir tomaremos x = 4

Volumen máximo:

V = 4x³-104x²+640x

V = 256-1664+2560

V= 1152 pulgas cubicas

Las dimensiones de la caja: 12 pulgadas de ancho, 24 pulgadas de largo y 4 pulgadas de altura