Question

Calcular la siguiente integral definida,

Siga los siguientes pasos:
- Graficar la función que acaba de integrar en Geogebra.
- Tome un pantallazo de la gráfica.
- Utilizando Paint para abrir el pantallazo de la gráfica, coloree la región de la cual acaba de hallar el área con la integral definida.

Answer 1

La región bajo la curva que encierra la integral definida $\int _0^{\pi }\frac{\csc \left(x\right)}{1+\left(\cot \left(x\right)\right)^2}dx$

es igual a 2. En la imagen se adjunta la gráfica de la misma.

Resolución de la integral definida

$\int _0^{\pi }\frac{\csc \left(x\right)}{1+\left(\cot \left(x\right)\right)^2}dx$

Simplificar $\frac{\csc \left(x\right)}{1+\cot ^2\left(x\right)}$

Usar identidad $-\cot ^2\left(x\right)+\csc ^2\left(x\right)=1$

$1+\cot ^2\left(x\right)=\csc ^2\left(x\right)$

$=\frac{\csc \left(x\right)}{\csc ^2\left(x\right)}$

al simplificar

$=\frac{1}{\csc \left(x\right)}$

$=\int _0^{\pi }\frac{1}{\csc \left(x\right)}dx$

Usando la identidad: $\csc \left(x\right)=\frac{1}{\sin \left(x\right)}$

$=\int _0^{\pi }\frac{1}{\frac{1}{\sin \left(x\right)}}dx$

$=\int _0^{\pi }\sin \left(x\right)dx$

Regla de integración $\int \sin \left(x\right)dx=-\cos \left(x\right)$

$=\left[-\cos \left(x\right)\right]^{\pi }_0$

$= -[\cos \left(\pi \right)\right] + \cos \left(0 \right)\right]] = 2$