Question

encuentra la ecuación de la recta que pasa por (2,3) y que la distancia de esta recta al punto (-2,3) sea igual a 8 raiz de 5 sobre 5 RESPUESTA: 2x-y-1=0
2x+y+7=0
Quiero saber el procedimiento ayudaaaa
Ejercicio 18, problema 24 del libro geometría analítica cuarta edición. Editorial:pearson

Answer 1

En este ejercicio tenemos que la recta solo pasa por (2,3), bien, hay infinitas rectas que pasan por ese punto. Y en efecto las rectas que cumplen esa condición serán dos. Por definición la distancia de un punto a una recta es la longitud de un segmento normal a la recta que pasa por ese punto. Entonces en el adjunto "figura 1" graficamos la situación: Construimos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la recta que une los dos puntos y uno de los catetos tiene que ser$8\frac{\sqrt{5} }{5}$. Es el que está marcado en azul. El cateto que pasa por (2,3) es la recta y el que pasa por (-2,3) es el que tiene que medir $8\frac{\sqrt{5} }{5}$. Sabemos que la longitud de la hipotenusa es 4 viendo tal gráfico. El otro cateto es:

$d1 = \sqrt{4^{2}- (8\frac{\sqrt{5} }{5} )^{2} } = \sqrt{16 - \frac{64}{5} } = \sqrt{\frac{16}{5} }  = 4\frac{\sqrt{5} }{5}$

Ya podemos hallar la pendiente de la recta que necesitamos:

$tg(\alpha ) = \frac{8\frac{\sqrt{5} }{5} }{4\frac{\sqrt{5} }{5} } = 2$

La recta con pendiente 2 tiene que pasar por (2,3):

$y=2x+b\\3=2.2+b\\b=-1$

La recta es:

$2x-y-1=0.$

Si hacemos el mismo proceso pero con el triángulo rectángulo dirigido hacia arriba podemos hallar la otra recta y no será otra cosa que el mismo triángulo espejado respecto de la recta y=2, nos va a dar que esta otra tiene que ser de pendiente -2.

$y=-2x+b\\3=-2.2+b\\b=7$

La otra recta es:

$2x+y-7=0$