1. Suponga que una empresa petrolera sostiene que en los procesos de exploración y explotación, la probabilidad de que un pozo sea productivo es del 32%. Se establece que se va a la iniciar explotación en 8 pozos.
Cuál es la probabilidad de que:
a. Todos sean productivos.
b. Exactamente 3 no sean productivos.
c. Por lo menos dos no sean productivos.
2. Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0,34 de anotar tiros desde la zona de 3 puntos.
Cuál es la probabilidad de que al tirar 9 veces enceste:
a. 4 veces.
b. Todas las veces.
c. Más de 6 veces.
3. El 13% de los huevos en una tienda están podridos. Halle la probabilidad de que un cliente que compra media docena de huevos encuentre como mucho un huevo podrido.
4. La probabilidad de que se funda un bombillo en su transporte es del 3%. Si en un envío hay 35 bombillos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno esté fundido debido a la operación de transporte?
5 De acuerdo con las estadísticas, existen 20,4 robos en cada mes.
Responda:
a. ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos dos personas hayan sido robadas en un periodo de 2 semanas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna persona haya sido robada en una semana?
6 Los pesos de 1500 soldados presentan una distribución normal de media 68 kg y desviación típica 7 kg.
Calcule la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese:
a. Más de 61 kg.
b. Entre 63 y 69 kg.
c. Menos de 70 kg.
d. Más de 75 kg.
7 La temperatura durante septiembre está distribuida normalmente con media 19,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté por debajo de 20ºC y la probabilidad que la temperatura este entre 19°C y 21°C.
8 La cantidad de productos no conformes de una compañía está distribuida normalmente con media 8 y desviación standard 2.5.
Calcule la probabilidad que la cantidad de productos no conformes sea.
d. Mayor que 4.
e. Entre 4 y 6
f. Igual a 7
Respuestas
Problemas de Probabilidad:
1. Suponga que una empresa petrolera sostiene que en los procesos de exploración y explotación, la probabilidad de que un pozo sea productivo es del 32%. Se establece que se va a la iniciar explotación en 8 pozos.
Explicación:
Probabilidad binomial:
P(x=k) =Cn,k (p)∧k (q)∧(n-k)
p: el pozo sea productivo
q: que el pozo no sea productivo
p = 0,32
q = 0,68
n = 8 pozos
La probabilidad de que:
a. Todos sean productivos.
P(x= 8) = C8,8 (0,32)⁸ (0,68)⁰
C8,8 =1
P(x= 8) =0,0001
La probabilidad de que todos los pozos sean productivos es de 0,0001
b. Exactamente 3 no sean productivos.
P(8,5) = C8,5 (0,32)⁸ (0,68)³
P(8,5) = 56*0,0001*0,314432
P(8,5) =0,0018
P(3 no sea productivos) = 1-0,0018 = 0,9982
c. Por lo menos dos no sean productivos.
P(x≤2) = P(x=0) +P(x=1) +P(x= 2)
P(x≤2) =0,0000009 +0,00005+0,0003
P(x≤2) = 0,0008
2. Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0,34 de anotar tiros desde la zona de 3 puntos
Explicacion:
Probabilidad binomial tendiendo a la normal
P(x=k) =Cn,k (p)∧k (q)∧(n-k)
p: de que el jugador enceste
q: de que el jugador no enceste
p = 0,32
q = 0,68
n = 9 veces
Media:
μ= n*p
μ = 9*0,32
μ= 3
Desviación estándar:
σ=√n*p*q
σ= 1,4
Probabilidad de lanzar 9 veces y encestar 4 veces
P (x= 4) = P9,4(0,32)⁹(0,68)⁵
P (x = 4) = 126 *0,000035 *0,1454
P(x=4) = 0,00064
Probabilidad de lanzar 9 veces y encestar todas las veces
n=9 lanzamientos
k=9 encestas
P (x=9) = C9,9 (0,34)⁹(0,66)⁰
P (x=9)=0,00006
Probabilidad de lanzar 9 veces y encestar mas de seis veces
P(x≥6)=?
Z = ( 6-3)/1,4 = 2,14 Valor que ubicamos en la Tabla de distribución normal y obtenemos la probabilidad de
P (x≤6) = 0,98341
P(x≥6)= 1-0,98341 = 0,1659
3. El 13% de los huevos en una tienda están podridos. Halle la probabilidad de que un cliente que compra media docena de huevos encuentre como mucho un huevo podrido
Probabilidad binomial:
P(x=k) =Cn,k (p)∧k (q)∧(n-k)
p: posibilidad de que este podrido
q: posibilidad de que no este podrido
p = 0,13
q = 0,87
P(x ≤ 1) = P(x= 0) + P(x=1)
P(x =0) = 6!/((6-0)!*0!)*0,13⁰*(0,87)⁶⁻⁰ = 0,43363
P(x =1) = 6!/((6-1)!*1!)*0,13¹*(0,87)⁶⁻¹ = 0,38877
P(x ≤ 1) = 0,43363 + 0,3887 = 0,8224
4. La probabilidad de que se funda un bombillo en su transporte es del 3%. Si en un envío hay 35 bombillos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno esté fundido debido a la operación de transporte?
Probabilidad binomial:
P(x=k) =Cn,k (p)∧k (q)∧(n-k)
p: probabilidad de que un bombillo se funda en el transporte
q: probabilidad de que un bombillo no se funda en el transporte
p = 0,03
q = 0,97
n = 35 bombillos
P(x<1)= P(x= 0)+P(x=1)
P(x=0) =C35,0( 0,03)⁰(0,97)³⁵
P(x=0)=0,3443
P(x=1) = C35,1(0,03)(0,97)³⁴
P(x=1)=0,3728
P(x<1)= P(x= 0)+P(x=1)
P(x<1)= 0,3443+0,3728
P(x<1)= 0,7171
5. De acuerdo con las estadísticas, existen 20,4 robos en cada mes.
Probabilidad de Poisson:
Cuando no indican un promedio estadístico como dato, utilizamos esta probabilidad:
P(x=k) = μΛke-μ/k!
Datos:
e = 2,71828
μ= 20,4 robos al mes
Si hay 20,4 robos al mes, y el mes tiene 4 semanas
Hay μ robos en una semana
μ= 5,1
a. ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos dos personas hayan sido robadas en un periodo de 2 semanas?
P(x≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)
P(x=0 ) = (10,2)∧0 (2,71828)∧-10,2 /0! =0,00037
P(x=1) = (10,2)∧1 (2,71828)∧-10,2 /1!= 0,00355
P(x=2) = (10,2)∧2 (2,71828)∧-10,2 /2! = 0,00193
P(x≤2) = 0,00585
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna persona haya sido robada en una semana?
P(x=0 ) = (5,1)∧0 (2,71828)∧-5,1 /0! =0,006
6. Los pesos de 1500 soldados presentan una distribución normal de media 68 kg y desviación típica 7 kg.
μ= 68 kg
σ= 7 kg
n= 1500
Z = (x-μ)/σ
La probabilidad de que un soldado elegido al azar pese:
a. Más de 61 kg.
Z = (61-68)/7 = -1
P (x≤61) = 0,15866
P ( x≥61) = 1-0,15866 = 0,84134
b. Entre 63 y 69 kg.
Z1 = 63-68/7 = -0,71
P (x≤63) = 0,23885
Z2 = 69-68/7 = 0,14
P (x≤69) = 0,55567
P ( 63≤x≤69) = (1-0,23885) -0,55567 = 0,20548
c. Menos de 70 kg.
Z = 70-68/7 = 0,29
P (x≤70) = 0,61409
d. Más de 75 kg.
Z = 75-68/7 = 1
P (x≤75) = 0,84134
P (x≥75) = 1-0,84134 = 0,15866
7 La temperatura durante septiembre está distribuida normalmente con media 19,7ºC y desviación standard 5ºC. Calcule la probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté por debajo de 20ºC y la probabilidad que la temperatura este entre 19°C y 21°C.
Explicación:
μ= 19,7 °C
σ= 5°C
x = 20°C
Probabilidad de distribución Normal
Probabilidad de que la temperatura durante septiembre esté por debajo de 20ºC.
Z = x-μ/σ
Z = 20-19,7/5= 0,06
P(x≤20°C ) = 0,52392
La probabilidad que la temperatura este entre 19°C y 21°C.
Z1 = 0,14
P (x≤19) = 0,55567
Z2 = 0,26
P (x≤21) = 0,60257
P (19≤x≤21) = 0,15927