Question

Sea la parabola Y al cuadrado -16x =0 Encontrar los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades

Answer 1

Los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades son:

(9, -12)  y  (9,  12).

Explicación:

La parábola en estudio tiene ecuación:    y²  =  16x

Es una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica es de la forma:

(y  -  k)²  =  ±4p(x  -  h)

donde:

(h, k) es el vértice de la parábola

4p  es la longitud del lado recto

p  es la distancia, medida sobre el eje de la parábola, vértice-directriz y vértice-foco.

Comparando con la parábola dada:

(h, k)  =  (0, 0)

4p  =  16        ⇒        p  =  4

El eje de la parábola es el eje de las  x.  La parábola abre en sentido positivo; es decir, a la derecha.

El foco estará ubicado a  4  unidades de distancia del vértice medido sobre el eje; o sea, que:

Foco  =  (4, 0)

Para ubicar los puntos solicitados, planteamos el cálculo de la distancia (radio) desde el foco a un punto de coordenadas  (x, y) ubicado en la parábola.

Distancia entre el foco y el punto (x, y)  =  $\sqrt{(x-4)^{2}+(y-0)^{2}} =13\right$

El punto (x, y) satisface la ecuación de la parábola, por lo que se establece el sistema de ecuaciones:

$\left \{ {{\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} =13} \atop {y^{2} =16x}} \right$

Resolvemos por sustitución de la segunda ecuación en la primera, tomando cuadrados a ambos lados de esta ecuación y resolviendo la ecuación de segundo grado resultante:

$\left \{ {(x-4)^{2}+y^{2} =13^{2}} \atop {y^{2} =16x}} \right \qquad \Rightarrow$

$(x-4)^{2}+16x =13^{2} \qquad \Rightarrow \qquad x^{2}-8x+16+16x =169 \qquad \Rightarrow$

$x^{2}+8x-153=0 \qquad \Rightarrow \qquad (x+17)(x-9)=0 \qquad \Rightarrow$

x  =  9

Al sustituir en la ecuación de la parábola se obtiene:

y  =  ± 12

Por lo tanto, los puntos cuya longitud de sus radios focales es 13 unidades son:  (9, -12)  y  (9, 12)