Dos astronautas de 55kg y 85kg se encuentran en el espacio, ambos inicialmente en reposo en un sistema inercial, separados 10m y ligados entre sí por una cuerda.
a) Si el astronauta de 85kg da un breve tirón de la cuerda, ejerciendo una fuerza promedio de 10N, ¿A qué distancia de su posición inicial se produce el encuentro entre ambos?
b) Calcular el tiempo transcurrido desde que el astronauta tira de la cuerda hasta que se encuentran si el tirón se ejerce durante una décima de segundo.

Respuestas

Respuesta dada por: Anónimo

La distancia desde su posición inicial es $x_{f}=5,52m$

Tiempo transcurrido desde que el astronauta tira de la cuerda hasta que se encuentran $t=4,09s$

Análisis:

En este ejercicio nos proporcionan los siguientes datos

$m_{1}=55kg$

$m_{2}=85kg$

$d=r=10m$

$F=10N$

Como la fuerza que es ejercida por uno de los astronautas, que están en el espacio, afecta a los dos por igual, y dado que no existen más fuerzas que los afecten, la aceleración causada por la fuerza viene dada por la Segunda Ley de Newton

$F=m*a$

Despejando la aceleración tenemos

$a=\frac{F}{m}$

También sabemos que la aceleración centrípeta viene dada por

$a=\frac{V^{2}}{r}$

Esta aceleración es la misma que causa el astronauta. Utilizándola para encontrar la velocidad a la que son impulsados, tenemos

$\frac{V^2}{r} =\frac{F}{m}$

Y ahora despejando la velocidad tenemos

$V=\sqrt{\frac{r*F}{m} }$

Con esta ecuación de velocidad podemos encontrar las velocidades iniciales de cada astronauta, como vemos

Velocidad de cada astronauta:

$V_{1i}=\sqrt{\frac{10m*10N}{55kg} } =1,35m/s$

$V_{2i}=\sqrt{\frac{10m*10N}{85kg} } =1,09m/s$

Con estas velocidades tenemos la posición y la velocidad, con lo que podemos encontrar el tiempo, que es un parámetro global. Este tiempo es el tiempo en el que sucede el encuentro entre los astronautas.

Para conseguirlo suponemos que el astronauta $m_{1}$ se encuentra en el origen y $m_{2}$ a la distancia de 10 metros. El movimiento de $m_{1}$ será hacia la derecha y su posición inicial será 0. Mientras que $m_{2}$ tiene posición inicial 10 metros y su velocidad inicial apunta hacia la izquierda, por lo tanto es negativa. Como queremos saber la distancia $x_{f}$ en la que se encuentran, igualamos las ecuaciones de posición como sigue

$x_{1f}=x_{1i}+V_{1i}t$

$x_{2f}=x_{2i}-V_{2i}t$

Teniendo

$V_{1i}t=x_{2i}-V_{2i}t$

Agrupamos los términos que tienen el tiempo y despejamos

$t=\frac{x_{2i}}{V_{1i}+V_{2i}}$

Este es el tiempo en el que se encuentran, dando como resultado

$t=\frac{10m}{1,35m/s+1,09m/s} =4,09s$

Ahora, con este resultado, podemos encontrar la posición en la que se encontrarán. Para eso podemos usar cualquiera de los dos astronautas, por lo que usaremos el primero

$x_{1f}=V_{1i}*t=1,35m/s*4,09s=5,52m$