Question

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)
d)
(∂y/∂x)=(-x)/(y-2x)

Answer 1

1. Se comprueba si es homogénea

f(x) = -x , f(ax) = -a f(x)  es una función homogénea

g(x,y) = y - 2x, g(ax, ax) = a g(x) , también es una función homogénea

Como f y g son polinomios, entonces se hace la siguiente sustitución

2. sustituir z = y/x

Para ello dividimos numerador y denominador entre x

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{-1}{\dfrac{y}{x}-2}\\ \\ \\y = zx \to y' = z'x+z\\ \\\\z'x+z =-\dfrac{1}{z-2}\\ \\ \\z'x=-\dfrac{1}{z-2}-z\\ \\ \\z'x=-\dfrac{z^2-2z+1}{z-2}\\ \\ \\\text{Hasta aqu\'i tenemos una EDO separable}\\\\\dfrac{z-2}{z^2-2z+1}~dz=-dx\\ \\ \\\text{Integramos ambos miembros}\\\\\displaystyle\,\int\dfrac{z-2}{z^2-2z+1}~dz=-\int dx\\ \\ \\\int \dfrac{1}{z-1}- \dfrac{1}{(z-1)^2}~dz=-x$

$\ln|z-1|+\dfrac{1}{z-1}+C=-x\\ \\ \\\text{Resustituimos }\\\\\ln\left|\dfrac{y-x}{x}\right |+\dfrac{x}{y-x}+x+C=0$

Answer 2

La Ecuación Diferencial (ed) $\bold{\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y-2x}}$ es una ed homogenea, cuya solución general es $\bold{Ln(\frac{x^{2}}{y-x})+\frac{x}{y-x}=C}$

Explicación:

Una ecuación diferencial (ed) que se expresa de la siguiente manera:

$M_{(x,y)}dx+N_{(x,y)}dy=0$

en la cual las funciones  M  y  N  son homogéneas del mismo grado (n), se denomina ED Homogenea de grado  n.

Para su solución se reescribe como una derivada:

$\frac{dy}{dx}=-\frac{M_{(x,y)}}{N_{(x,y)}}$

Luego, se expresa el lado derecho como una función (y/x) dividiendo cada término entre  x elevado al grado de homogeneidad.

Una vez reescrita de la forma descrita, se aplica el siguiente cambio de variable:

$\bold{v=\frac{y}{x}\quad \Rightarrow \quad y=vx \quad \Rightarrow }$

$\bold{\frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}}$

Esta nueva ed es de variables separables en  v, x.

En el caso que nos ocupa:                $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y-2x}$

1.- La ed es homogénea de grado 1 y está escrita como derivada, así que se dividen todos sus términos entre  x:

Se sabe que es homogénea de grado uno porque todos sus términos tienen esta potencia.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{x}{x}}{(\frac{y}{x})-2(\frac{x}{x})}=-\frac{1}{(\frac{y}{x})-2}$

2.- Se aplica el siguiente cambio de variable:

$v=\frac{y}{x}\quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} =v+x \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{(\frac{y}{x})-2} \quad \Rightarrow$

$v+x \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v-2} \quad \Rightarrow$

3.- Se opera para separar las variables y resolver:

$x \frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v-2}-v=\frac{-1-v^{2}+2v}{v-2} \quad \Rightarrow$

$\frac{(v-2)dv}{-1-v^{2}+2v }=\frac{dx}{x} \quad \Rightarrow$

$\frac{dx}{x}+\frac{(v-2)dv}{v^{2}-2v+1}=0 \quad \Rightarrow$

4.- Integramos para obtener la solución general

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{v-2}{ v^{2}-2v+1}}\,dv}=0 \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{v-2}{(v-1)^{2}}}\,dv}=0 \quad \Rightarrow$

La primera integral se resuelve de manera inmediata, mientras que la segunda se resuelve aplicando el método de cambio de variable:

Segunda integral:    u  =  v  -  1        ⇒        du  =  dv

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{u+1-2}{(u)^{2}}}\,du}=0 \quad \Rightarrow$

$\int{\frac{1}{x}\,dx}+\int{\frac{u}{ (u)^{2}}}\,du}+\int{\frac{-1}{ (u)^{2}}}\,du}=0 \quad \Rightarrow$

$Ln(x)+Ln(u)+\frac{1}{u}=C \quad \Rightarrow$

$Ln(x)+Ln(v-1)+\frac{1}{v-1}=C$

La solución general es:

$Ln(x)+Ln(\frac{y}{x}-1)+\frac{1}{\frac{y}{x}-1}=C \quad \Rightarrow$

$\bold{Ln(\frac{x^{2}}{y-x})+\frac{x}{y-x}=C}$