Question

Técnicas de conteo

Estudio de caso 10

Se tiene una caja con 24 latas y se sabe que dos están contaminadas. Se van a seleccionar tres latas al azar para someterlas a una prueba de control de calidad, es decir, para medir los estándares de calidad de la empresa.
a. ¿Cuántas combinaciones de tres latas pueden hacerse?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una lata contaminada para la prueba?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione al menos una lata contaminada para la prueba?
d. ¿Y la probabilidad de que no se elijan latas contaminadas para la prueba?

Answer 1

La cantidad de combinaciones que se pueden hacer de 3 latas son 2024, la probabilidad de que se seleccione una lata contaminada es  0.228260, la probabilidad de que se seleccione al menos una lata contaminada es 0.239130 y de que no se elijan latas contaminadas es 0.76087

Una combinación en combinatoria cuenta la cantidad de maneras en las que se pueden tomar n elementos en grupos de r elementos y su ecuación es:

Comb(n,r) = n!/((n-r)!*r!)

Distribución hipergeométrica: consiste en tomar de un grupo de N personas n de ellas, donde en las N personas hay C personas que cumplen con la característica deseadas y se desea saber la probabilidad de que en este grupo tomado "x" personas tengan dicha característica. La ecuación que determina la probabilidad en la hipergeométrica es:

P(X = x) = (comb(C,x)*Comb(N-C,n-x))/Comb(N,n)

En este caso:

N = 24

n = 3

C = 2

a. ¿Cuántas combinaciones de tres latas pueden hacerse?

Como en total hay 24 latas, entonces son combinaciones de 24 en 3

Comb(24,3) = 24!/((24-3)!*3!) = 24!/(21!*3!) = 2024.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione una lata contaminada para la prueba?

Se desea saber la probabilidad de que x = 1

Comb(C,x) = Comb(2,1) = 2!/((2-1)!*1!) = 2!/1! = 2

Comb(N-C,n-x) = Comb(24-2,3-1) = Comb(22,2) = 22!/((22-2)!*2!) = 22!/(20!*2) = 231

Comb(N,n) = Comb(24,3) = 24!/((24-3)!*3!) =24!/(21!*3!) = 2024

P(X = 1) = (2*231)/2024 = 462/2024 = 0.228260

c. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione al menos una lata contaminada para la prueba?

Como hay 2 latas contaminadas en la probabilidad de x = 1 más la probabilidad de que x = 2, la primera ya lo tenemos calculemos la probabilidad de x = 2

Comb(C,x) = Comb(2,2) = 2!/((2-2)!*2!) = 2!/2! = 1

Comb(N-C,n-x) = Comb(24-2,3-2) = Comb(22,1) = 22!/((22-1)!*1!) = 22!/(21!*1) = 22

Comb(N,n) = Comb(24,3) = 24!/((24-3)!*3!) =24!/(21!*3!) = 2024

P(X = 2) = (1*22)/2024 = 22/2024 = 0.010869

P(X ≥ 1) = 0.228260 + 0.010869 = 0.239130

d. ¿Y la probabilidad de que no se elijan latas contaminadas para la prueba?

Es la probabilidad de x = 0 podríamos calcularle con la ecuación que tenemos pero es más sencillo calcularlo con el complemento, pues el complemento de que no se elijan latas contaminadas es que se elija al menos una, y la probabilidad de que no se elijan latas contaminadas es uno menos la probabilidad de que se elija al menos una lata contaminada:

P(X = 0) = 1 - P(X ≥ 1)  = 1 - 0.239130 = 0.76087

Answer 2

Respuesta:

¿Qué probabilidades hay de que una lata contaminada sea elegida en la prueba?

P(A y B y C) = P(A)*P(B|A)*P(C|A y B)

P= (2/24) (22/23) (21/22)= 924/12144

=0.760

R/=La probabilidad de que elija una lata contaminada es de 0.760%.

¿Qué probabilidades hay de que las dos latas contaminada sea elegida en la prueba?

P(A y B y C) = P(A)*P(B|A)*P(C|A y B)

P=(2/24) * (1/23) * (22/22)

= 44/ 12144

=0.0036

R/=La robabilidades hay de que las dos latas contaminada sea elegida en la prueba es de 0.0036

¿Qué probabilidades hay de que ninguna  lata contaminada sea elegida en la prueba?

P(A y B y C) = P(A)*P(B|A)*P(C|A y B)

P=(22/24)* (21/23) * (22/22)=10164/12144

                         =0.836

R/=La probabilidades hay de que ninguna lata contaminada sea elegida en la prueba es de 0.836 %

Explicación paso a paso: