Question

Halla la ecuación general de cada recta según las condiciones dadas

A. Pasa por los puntos (3/2 , 2) y (1/2 ,-5)

B. La pendiente es 1/3 y el interceptó en el eje Y es 3

C. Pasa por los puntos (-1,2) y (0,-3)

D. La inclinación es de 60° y el interceptó en el eje Y es 4

E. La inclinación es de 150° y pasa por (2,-1).

Answer 1

La ecuación general de la recta en cada caso es:

A) $y = 7x - \frac{17}{2}$

B) $y = \frac{x}{3}+ 3$

C) $y = 5x - 3$

D) $y = \sqrt{3}x +4$

E) $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x – 0.423$

Recordemos que la ecuación de la recta es

1. $y = mx + b$

Donde $m$es la pendiente de la recta. Debemos escribir de esta manera cada una de las rectas, y para eso necesitamos el valor de la pendiente y la constante $b$. Comenzamos con la primera:

En este caso, tenemos dos puntos, el punto 1 $(\frac{3}{2},2)$ y el punto 2 $(\frac{1}{2},-5)$ por los que pasa la recta, y podemos escribir la pendiente como:

2. $m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

Donde $y_2$ es la coordenada en $y$ del segundo punto, $y_1$ es la coordenada en $y$ del primer punto, $x_2$ es la coordenada en $x$ del segundo punto, $x_1$ es la coordenada en $x$ del primer punto.

Sustituimos los valores para nuestro caso:

$x_1 = \frac{3}{2}$, $y_1 = 2$

$x_2 = \frac{1}{2}$, $y_2 = -5$

Sustituimos en la ecuación 2:

$m = \frac{-5 - 2}{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}}$

Resolvemos las restas en numerador y el denominador, y obtenemos:

$m = \frac{-7}{-\frac{2}{2}}$

$m = 7$

Ya que tenemos la pendiente, podemos usarla para encontrar la constante  $b$. Para ello, podemos tomar cualquiera de los puntos, usemos el punto $(\frac{3}{2},2)$. Si introducimos estos valores y la pendiente que calculamos en la ecuación de la recta, nos queda:

$y = mx + b$

$2 = 7\frac{3}{2} + b$

$2 = \frac{21}{2} + b$

Despejamos $b$ pasando restando al lado izquierdo del signo de la igualdad a $\frac{21}{2}$, resolvemos la resta que queda y obtenemos el valor de b:

$2 - \frac{21}{2} = b$

$- \frac{17}{2} = b$

Ya que tenemos la constante $b$ y la pendiente $m$, podemos escribir la ecuación de la recta:

$y = 7x - \frac{17}{2}$

Ahora pasamos a la segunda recta. En este caso, ya tenemos la pendiente así que solo necesitamos la constante $b$. Ya que Si la recta intersecta al eje Y en $3$, esto quiere decir que pasa por el punto $(0,3)$. Introducimos estos datos en la ecuación de la recta, y despejamos b:

$3 = 0\frac{1}{3} + b$

$3 = b$ (todo numero multiplicado por cero da cero)

Y podemos escribir la ecuación de esta recta:

$y = \frac{x}{3}+ 3$

Para la tercera recta, repetimos el proceso que hicimos para la primera. Usamos la ecuación 2, y sustituimos los valores:

$m = \frac{2 - (-3}{-1 - 0}$

Recordamos la regla de menos por menos es más para obtener el resultado de la resta de arriba:

$m = \frac{2 + 3}{-1}$

$m = \frac{5}{-1}$

$m = -5$

Ahora introducimos dentro de la ecuación de la recta para obtener el punto b. Usemos el punto (0,-3), así calculamos menos:

$-3 = (-5)0 + b$

Como todo número multiplicado por cero da cero:

$-3 = b$

Y escribimos la ecuación general de la recta:

$y = 5x - 3$

Para la cuarta recta, tenemos un punto y la inclinación en grados. Si sólo tenemos un punto por donde pasa una recta, pero tenemos su inclinación, podemos calcular su pendiente, si recordamos que se relacionan así:

3. $m = \tan(\alpha)$

Donde $\alpha$ es el ángulo de inclinación. Usando la ecuación 3, la pendiente de la cuarta recta, que pasa por $(0,4)$ es:

$m = \tan(60\textdegree)$

$m = \sqrt{3}$

Ahora, como hicimos antes, sustituimos en la ecuación de la recta, con el punto que tenemos:

$-3 = \sqrt{3}(0) + b$

$-3 = b$

Estamos listos para escribir la ecuación de la recta:

$y = \sqrt{3}x +4$

Para la última recta, repetimos el procedimiento anterior. Calculamos la pendiente con la ecuación 3:

$m = \tan(150\textdegree)$

$m = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Sustituimos la pendiente y los puntos en la ecuación de la recta para despejar $b$:

$-1 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(2) + b$

$-1 + \frac{\sqrt{3}}{3}(2) = b$

$\frac{\sqrt{3} - 3}{3}(2) = b$

$-0.423 = b$

Ahora escribimos la ecuación de la recta:

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x – 0.423$

Link a pregunta similar:

https://brainly.lat/tarea/11755066