Dados los vectores 3D u ⃗=3i-5j+3k y v ⃗=-2i+9j-k determine su producto cruz y calcule el resultado de las siguientes operaciónes:
(3u-5v)∙(1/2 v-u)
(u-v)∙(2/3 u+v)
(3/5 u-v)∙(u+v)
3(u-v)∙3/4(u+v)
5/2(u-2v)∙(4u-v)
Respuestas
El producto cruz entre dos vectores U y V :
UxV = -22i+3j+17k
La siguiente operación con vectores es:
(3U-5V).(1/2U-V) = 1583/7
(U-V).(2/3U+V) = -226/3
(3/5 U-V).(U+V) = -193/5
3(U-V).3/4(U+V) = -387/4
5/2(U-2 V).(4 U-V) = 2075
Datos:
U=3i-5j+3k
V=-2i+9j-k
El producto vectorial o producto cruz es: el resultado es un nuevo vector .
En la imagen se puede ver el procedimiento.
= i[ -5(-1) - (9)(3)] ; j[ 3(-1) - (-2)(3)] ; k[ 3(9) - (-2)(-5)]
= i[ 5 - 27] ; j[ -3 - (-6)] ; k[ 27 - 10]
= -22i+3j+17k
UxV = -22i+3j+17k
El producto de un escalar por un vector: el resultado de multiplicar un escalar a un vector es otro vector.
- (3U-5V).(1/2U-V)
Escalar por un vector:
3U = 3(3i-5j+3k )
3U = 9i - 15j + 9k
Escalar por un vector:
5V = 5(-2 i+9 j-k)
5V = -10i+45j-5k
Escalar por un vector:
(1/2U) = 1/2(3i-5j+3k)
(1/2U) = 5/2i-15/2j+9/2k
Resta de vectores:
(1/2U-V) = (3/2i-5/2j+3/2k) - (-2i+9j-k)
(1/2U-V) = 3/2i-5/2j+3/2k +2i-9j+k
(1/2U-V) = (3/2 + 2)i + (-5/2 - 9)j + (3/2 + 1)k
(1/2U-V)= 7/2i -23/2j + 5/2k
Resta de vectores:
(3U-5V) = (9i - 15j + 9k ) - (-10i+45j-5k)
(3U-5V) = 9i -15j +9k + 10i -45j +5k
(3U-5V) = (9+10)i +(-15-45)j +(9 +5)k
(3U-5V) = 19i -60j +14k
Producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar.
(3U-5V).(1/2U-V) = ( 19i -60j +14k )( 7/2i -23/2j + 5/2k )
(3U-5V).(1/2U-V)= [(19)(7/2)] + [(-60)(-23/2)] + [(14)(5/2)]
(3U-5V).(1/2U-V) = 133/2 + 690 + 35
(3U-5V).(1/2U-V) = 1583/7
- (U-V).(2/3U+V)
Producto de un escalar por un vector;
(2/3U) = 2/3(3i-5j+3k)
(2/3U) = 2i-10/3j+2k
Suma de vectores;
(2/3U+V) = (2i-10/3j+2k) + (-2i+9j-k)
(2/3U+V) = 2i-10/3j+2k -2i+9j-k
(2/3U+V) = (2 - 2)i + (-10/3 +9)j + (2 -1)k
(2/3U+V)= 0i +17/3j + k
Resta de vectores:
(U-V) = (3i-5j+3k) - (-2i+9j-k)
(U-V) = 3i -5j +3k + 2i -9j +k
(U-V) = (3+2)i +(-5-9)j +(3 +1)k
(U-V) = 5i -14j +4k
Producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar.
(U-V).(2/3U+V) = ( 5i -14j +4k)( 0i +17/3j + k)
(U-V).(2/3U+V)= [(5)(0)] + [(-14)(17/3)] + [(4)(1)]
(U-V).(2/3U+V) = 0 – 238/3 + 4
(U-V).(2/3U+V) = -226/3
- (3/5 U-V).(U+V)
Resta de vectores:
(3/5U-V) = 3/5(3i-5j+3k) - (-2i+9j-k)
(3/5U-V) = 9/5i-3j+9/5k +2i-9j+k
(3/5U-V) = (9/5+2)i + (-3-9)j +(9/5+1)k
(3/5U-V) = 19/5i-12j+14/5k
Suma de vectores;
(U+V) = (3i-5j+3k) + (-2i+9j-k)
(U+V) = 3i-5j+3k -2i+9j-k
(U+V) = (3-2)i+(-5+9)j+(3-1)k
(U+V) = i+4j+2k
Producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar.
(3/5U-V).(U+V) = (19/5i-12j+14/5k)( i+4j+2k )
(3/5U-V).(U+V) = [(19/5)(1)] + [(-12)(4)] + [(14/5)(2)]
(3/5U-V).(U+V) = 19/5 - 48 + 28/5
(3/5U-V).(U+V) = -193/5
- 3(U-V).3/4(U+V)
Resta de vectores:
(U-V) = (3i-5j+3k) - (-2i+9j-k)
(U-V) = 3i -5j +3k + 2i -9j +k
(U-V) = (3+2)i +(-5-9)j +(3 +1)k
3(U-V) = 3(5i -14j +4k)
3(U-V) = 15i -42j +12k
Suma de vectores:
(U+V) = (3i-5j+3k) + (-2i+9j-k)
(U+V) = 3i-5j+3k -2i+9j-k
(U+V) = (3-2)i+(-5+9)j+(3-1)k
(U+V) = i+4j+2k
3/4(U+V) = 3/4(i+4j+2k)
3/4(U+V) = 3/4i+3j+3/2k
Producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar.
3(U-V).3/4(U+V) = ( 15i -42j +12k)( 3/4i+3j+3/2k)
3(U-V).3/4(U+V) = [(15)(3/4)] + [(-42)(3)] + [(12)(3/2)]
3(U-V).3/4(U+V) = 45/4 - 126 + 18
3(U-V).3/4(U+V) = -387/4
- 5/2(U-2 V).(4 U-V)
Escalar por un vector:
4U = 4(3i-5j+3k )
4U = 12i - 20j + 12k
Resta de vectores:
(4U-V) = (12i-20j+12k) - (-2i + 9j-k)
(4U-V) = 12i -20j +12k + 2i -9j +k
(4U-V) = (12+2)i +(-20-9)j +(12 +1)k
(4U-V) = 14i -29j +13k
Escalar por un vector:
2V = 2(-2 i+9 j-k)
2V = -4i+18j-2k
Resta de vectores:
(U-2V) = (3i-5j+3k ) - (-4i+18j-2k)
(U-2V) = 3i -5j +3k + 4i -18j +2k
(U-2V) = (3+4)i +(-5-18)j +(3 +2)k
(U-2V) = 7i -23j +5k
5/2(U-2V) = 5/2(7i -23j +5k)
5/2(U-2V) =35/2i - 115/2j +25/2k
Producto escalar o producto punto: es producto de dos vectores el resultado es un escalar.
5/2(U-2 V).(4 U-V) = ( 35/2 i - 115/2 j +25/2 k )( 14 i -29j +13k )
5/2(U-2 V).(4 U-V)= [(35/2)(14)] + [(-115/2)(-29)] + [(25/2)(13)]
5/2(U-2 V).(4 U-V) = 245 + 3335/2 + 325/2
5/2(U-2 V).(4 U-V) = 2075
